Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2025

Considere la siguiente función: $f(x) = e^{-2x}\left(x^2 - 3x + \dfrac{3}{2}\right)$. [2,5 puntos]

a) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

b) Determine, si existen, los puntos de inflexión de $f(x)$. [0,75 puntos]

c) Si existen, halle las asíntotas horizontales de $f(x)$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

La monotonía la decide el signo de la derivada primera. Derivamos el producto y sacamos factor común la exponencial.

$f'(x)=-2e^{-2x}\left(x^2-3x+\dfrac32\right)+e^{-2x}(2x-3)$

$f'(x)=e^{-2x}\left(-2x^2+6x-3+2x-3\right)=e^{-2x}\left(-2x^2+8x-6\right)$

$f'(x)=-2e^{-2x}\left(x^2-4x+3\right)=-2e^{-2x}(x-1)(x-3)$

$-2e^{-2x}(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1,\quad x=3$

Como $e^{-2x}>0$ para todo $x$, el signo de $f'$ es el opuesto al de la parábola $(x-1)(x-3)$: negativo fuera de las raíces y positivo entre ellas.



La función decrece en $(-\infty,1)$ y en $(3,+\infty)$, y crece en $(1,3)$. Hay entonces un mínimo relativo en $x=1$, de valor $f(1)=-\frac{1}{2}e^{-2}\approx-0{,}0677$, y un máximo relativo en $x=3$, de valor $f(3)=\frac{3}{2}e^{-6}\approx0{,}0037$.

$\textbf{b) Determine, si existen, los puntos de inflexión de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Un punto de inflexión es aquel en el que la derivada segunda se anula y cambia de signo, así que derivamos otra vez la expresión del apartado anterior.

$f''(x)=4e^{-2x}\left(x^2-4x+3\right)-2e^{-2x}(2x-4)$

$f''(x)=e^{-2x}\left(4x^2-16x+12-4x+8\right)=4e^{-2x}\left(x^2-5x+5\right)$

$x^2-5x+5=0\Rightarrow x=\dfrac{5\pm\sqrt{25-20}}{2}=\dfrac{5\pm\sqrt5}{2}$

De nuevo la exponencial es positiva, de modo que el signo de $f''$ es el de la parábola, que cambia al pasar por cada una de sus dos raíces simples.



Calculamos las ordenadas sustituyendo en la función.

$\dfrac{5-\sqrt5}{2}\approx1{,}3820\Rightarrow f\left(\dfrac{5-\sqrt5}{2}\right)\approx-0{,}0464$

$\dfrac{5+\sqrt5}{2}\approx3{,}6180\Rightarrow f\left(\dfrac{5+\sqrt5}{2}\right)\approx0{,}0027$

Sí existen, y son dos: $\left(\frac{5-\sqrt5}{2},-0{,}0464\right)$ y $\left(\frac{5+\sqrt5}{2},\,0{,}0027\right)$. Encajan con el apartado anterior, porque quedan uno a cada lado del tramo creciente.

$\textbf{c) Si existen, halle las asíntotas horizontales de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Hay asíntota horizontal cuando el límite de la función en el infinito es finito, así que estudiamos los dos límites por separado. En $+\infty$ aparece la indeterminación $\infty\cdot0$, que se resuelve escribiendo la exponencial en el denominador y aplicando dos veces la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to+\infty}e^{-2x}\left(x^2-3x+\dfrac32\right)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-3x+\frac32}{e^{2x}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x-3}{2e^{2x}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{4e^{2x}}=0$

En $-\infty$ no hay indeterminación: los dos factores tienden a $+\infty$.

$\lim_{x\to-\infty}e^{-2x}\left(x^2-3x+\dfrac32\right)=+\infty\cdot(+\infty)=+\infty$

Sí existe, y es una sola: la recta $y=0$ es asíntota horizontal cuando $x\to+\infty$. Por la izquierda la función no tiene asíntota horizontal, porque crece sin límite.