Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} ax + y + z = 4 \\ (a - 1)x - 3z = 2 \\ y + (a^2 + a + 1)z = 0 \end{cases}$

dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$. [2,5 puntos]

a) Determine los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible. [1,5 puntos]

b) Considere $a = -1$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

c) Considere $a = 2$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine los valores de }\boldsymbol{a}\textbf{ para los cuales el sistema es compatible. [1,5 puntos]}$

Discutimos el sistema por el teorema de Rouché-Frobenius. Escribimos las dos matrices y empezamos por el determinante de la de coeficientes.

$M=\begin{pmatrix}a&1&1\\ a-1&0&-3\\ 0&1&a^2+a+1\end{pmatrix},\qquad M^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}a&1&1&4\\ a-1&0&-3&2\\ 0&1&a^2+a+1&0\end{array}\right)$

Lo desarrollamos por la regla de Sarrus, aprovechando que $(a-1)(a^2+a+1)=a^3-1$.

$|M|=\begin{vmatrix}a&1&1\\ a-1&0&-3\\ 0&1&a^2+a+1\end{vmatrix}=0+0+(a-1)-0+3a-(a^3-1)$

$|M|=a-1+3a-a^3+1=4a-a^3$

$4a-a^3=-a(a^2-4)=-a(a-2)(a+2)=0\Rightarrow a=0,\quad a=2,\quad a=-2$

Si $a\neq0,2,-2$ entonces $|M|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado. Estudiamos ahora los tres valores que anulan el determinante.

Para $a=0$:

$M=\begin{pmatrix}0&1&1\\ -1&0&-3\\ 0&1&1\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}0&1\\ -1&0\end{vmatrix}=1\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(M)=2$

$\begin{vmatrix}0&1&4\\ -1&0&2\\ 0&1&0\end{vmatrix}=-1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}1&4\\ 1&0\end{vmatrix}=1\cdot(-4)=-4\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(M^{*})=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible. Se ve directamente en las ecuaciones: la primera y la tercera tienen los mismos coeficientes y distinto término independiente.

Para $a=2$:

$M=\begin{pmatrix}2&1&1\\ 1&0&-3\\ 0&1&7\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}2&1\\ 1&0\end{vmatrix}=-1\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(M)=2$

$\begin{vmatrix}2&1&4\\ 1&0&2\\ 0&1&0\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}2&4\\ 1&2\end{vmatrix}=-(4-4)=0\Rightarrow\operatorname{ran}(M^{*})=2$

Los dos rangos valen $2<3$ y el sistema es compatible indeterminado.

Para $a=-2$:

$M=\begin{pmatrix}-2&1&1\\ -3&0&-3\\ 0&1&3\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}-2&1\\ -3&0\end{vmatrix}=3\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(M)=2$

$\begin{vmatrix}-2&1&4\\ -3&0&2\\ 0&1&0\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}-2&4\\ -3&2\end{vmatrix}=-(-4+12)=-8\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(M^{*})=3$

y el sistema vuelve a ser incompatible.

El sistema es compatible para todos los valores de $a$ salvo $a=0$ y $a=-2$: determinado si además $a\neq2$ e indeterminado si $a=2$.

$\textbf{b) Considere }\boldsymbol{a = -1}\textbf{. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]}$

Como $-1$ no anula el determinante, el sistema es compatible determinado y tiene solución única. Sustituimos:

$\begin{cases}-x+y+z=4\\ -2x-3z=2\\ y+z=0\end{cases}$

De la tercera ecuación, $y=-z$, y llevándolo a la primera se cancelan las dos incógnitas.

$-x-z+z=4\Rightarrow x=-4$

$-2(-4)-3z=2\Rightarrow 8-3z=2\Rightarrow z=2$

$y=-2$

La solución para $a=-1$ es única: $(x,y,z)=(-4,-2,2)$.

$\textbf{c) Considere }\boldsymbol{a = 2}\textbf{. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [0,5 puntos]}$

Por el apartado a), para $a=2$ el sistema es compatible indeterminado con rango $2$: sobra una ecuación y queda un parámetro libre. El sistema es

$\begin{cases}2x+y+z=4\\ x-3z=2\\ y+7z=0\end{cases}$

Nos quedamos con las dos últimas ecuaciones, que son las del menor de orden dos no nulo, y tomamos $z$ como parámetro.

$z=\lambda,\ \lambda\in\mathbb{R}$

$x=2+3\lambda,\qquad y=-7\lambda$

Comprobamos que la primera ecuación, la que hemos descartado, se cumple sola:

$2(2+3\lambda)-7\lambda+\lambda=4+6\lambda-7\lambda+\lambda=4$

La solución general para $a=2$ es

$\begin{cases}x=2+3\lambda\\ y=-7\lambda\\ z=\lambda\end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$