Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Considere la recta $r : \begin{cases} 2x - y = 3 \\ y - 2z = 1 \end{cases}$ y el punto $P = (1, 1, 1)$. [2,5 puntos]

a) Determine los puntos de $r$ que están a una distancia de $\sqrt{14}$ unidades de $P$. [1 punto]

b) Obtenga la ecuación del plano que contiene a $r$ y $P$. [0,75 puntos]

c) Calcule la distancia entre $r$ y $P$. [0,75 puntos]

Los tres apartados usan el mismo par de datos de la recta, así que los obtenemos una sola vez. Un vector director de $r$ es el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que la definen:

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 2&-1&0\\ 0&1&-2\end{vmatrix}=(2,4,2)$

Los tres componentes son proporcionales a $(1,2,1)$, y con ese director trabajamos. Un punto de $r$ se obtiene dando un valor a una incógnita; con $z=0$ queda $y=1$ y $2x-1=3$:

$A(2,1,0)\in r$

$r:\begin{cases}x=2+\lambda\\ y=1+2\lambda\\ z=\lambda\end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{a) Determine los puntos de }\boldsymbol{r}\textbf{ que están a una distancia de }\boldsymbol{\sqrt{14}}\textbf{ unidades de }\boldsymbol{P}\textbf{. [1 punto]}$

Un punto genérico de la recta depende de $\lambda$, así que imponemos que su distancia a $P$ valga $\sqrt{14}$ y despejamos el parámetro.

$R(2+\lambda,\,1+2\lambda,\,\lambda)$

$d(P,R)=\sqrt{(1+\lambda)^2+(2\lambda)^2+(\lambda-1)^2}=\sqrt{6\lambda^2+2}$

$\sqrt{6\lambda^2+2}=\sqrt{14}\Rightarrow 6\lambda^2+2=14\Rightarrow \lambda^2=2\Rightarrow \lambda=\pm\sqrt2$

Sustituimos los dos valores en las ecuaciones paramétricas.

$\lambda=\sqrt2\Rightarrow R_1\left(2+\sqrt2,\,1+2\sqrt2,\,\sqrt2\right)$

$\lambda=-\sqrt2\Rightarrow R_2\left(2-\sqrt2,\,1-2\sqrt2,\,-\sqrt2\right)$

Hay dos puntos de $r$ a distancia $\sqrt{14}$ de $P$: $R_1\left(2+\sqrt2,\,1+2\sqrt2,\,\sqrt2\right)$ y $R_2\left(2-\sqrt2,\,1-2\sqrt2,\,-\sqrt2\right)$. Ambos son admisibles, y quedan simétricos respecto del pie de la perpendicular trazada desde $P$.

$\textbf{b) Obtenga la ecuación del plano que contiene a }\boldsymbol{r}\textbf{ y }\boldsymbol{P}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores independientes contenidos en él. Tomamos el punto $A$ de la recta y, como vectores, el director de $r$ y el que va de $A$ a $P$.

$\overrightarrow{AP}=(1,1,1)-(2,1,0)=(-1,0,1)$



El vector normal del plano es el producto vectorial de esos dos.

$\vec n_{\pi}=\vec v_r\times\overrightarrow{AP}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 1&2&1\\ -1&0&1\end{vmatrix}=(2,-2,2)$

Simplificamos a $(1,-1,1)$ y escribimos la ecuación general imponiendo que pase por $A$.

$\pi:x-y+z+D=0$

$2-1+0+D=0\Rightarrow D=-1$

El plano que contiene a la recta y al punto es $\pi:x-y+z-1=0$. Comprobamos que $P$ lo cumple: $1-1+1-1=0$.

$\textbf{c) Calcule la distancia entre }\boldsymbol{r}\textbf{ y }\boldsymbol{P}\textbf{. [0,75 puntos]}$

La distancia de un punto a una recta se mide en perpendicular y se obtiene con el producto vectorial del vector $\overrightarrow{AP}$ por el director, dividido entre el módulo del director.

$d(P,r)=\dfrac{\left|\overrightarrow{AP}\times\vec v_r\right|}{\left|\vec v_r\right|}$

$\overrightarrow{AP}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ -1&0&1\\ 1&2&1\end{vmatrix}=(-2,2,-2)$

$\left|\overrightarrow{AP}\times\vec v_r\right|=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt3,\qquad \left|\vec v_r\right|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6$

$d(P,r)=\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt6}=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\ \text{u}$

La distancia del punto a la recta es $\sqrt2$ unidades. El mismo valor se obtiene del apartado a): el mínimo de $\sqrt{6\lambda^2+2}$ se alcanza en $\lambda=0$ y vale $\sqrt2$.