Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Considere la siguiente función: $f(x) = (x^2 - 2)e^{2x}$. [2,5 puntos]

a) Halle los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de abscisas OX y los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de ordenadas OY. [0,5 puntos]

b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

c) Calcule el área comprendida entre la curva $y = f(x)$, el eje OX y las rectas $x = -2$ y $x = 1$. [1 punto]

$\textbf{a) Halle los puntos de corte de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{ con el eje de abscisas OX y los puntos de corte de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{ con el eje de ordenadas OY. [0,5 puntos]}$

Los cortes con el eje OX salen de resolver $f(x)=0$ y el corte con el eje OY, de evaluar la función en $x=0$. Como la exponencial no se anula nunca, en el primer caso solo puede anularse el paréntesis.

$(x^2-2)e^{2x}=0\Rightarrow x^2-2=0\Rightarrow x=\pm\sqrt2$

$f(0)=(0-2)e^{0}=-2$

La gráfica corta al eje OX en $(-\sqrt2,0)$ y $(\sqrt2,0)$, y al eje OY en $(0,-2)$.

$\textbf{b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

La monotonía la decide el signo de la derivada primera. Derivamos el producto y sacamos factor común la exponencial.

$f'(x)=2xe^{2x}+2(x^2-2)e^{2x}=2e^{2x}\left(x^2+x-2\right)$

$f'(x)=2e^{2x}(x+2)(x-1)$

$2e^{2x}(x+2)(x-1)=0\Rightarrow x=-2,\quad x=1$

Como $2e^{2x}>0$ para todo $x$, el signo de $f'$ es el de la parábola $(x+2)(x-1)$, positiva fuera de sus raíces y negativa entre ellas.



La función crece en $(-\infty,-2)$ y en $(1,+\infty)$, y decrece en $(-2,1)$. Hay por tanto un máximo relativo en $x=-2$ y un mínimo relativo en $x=1$.

$\textbf{c) Calcule el área comprendida entre la curva }\boldsymbol{y = f(x)}\textbf{, el eje OX y las rectas }\boldsymbol{x = -2}\textbf{ y }\boldsymbol{x = 1}\textbf{. [1 punto]}$

Antes de integrar hay que ver el signo de $f$ en el intervalo, porque la integral definida de un trozo por debajo del eje sale negativa. Por el apartado a) la función se anula en $-\sqrt2$, que está dentro de $[-2,1]$, mientras que $\sqrt2$ queda fuera.

$f(x)\ge0\ \text{en}\ [-2,-\sqrt2],\qquad f(x)\le0\ \text{en}\ [-\sqrt2,1]$



Calculamos una primitiva integrando dos veces por partes, tomando cada vez el polinomio como factor a derivar.

$\begin{cases}u=x^2-2 & du=2x\,dx\\[4pt] dv=e^{2x}\,dx & v=\dfrac{e^{2x}}{2}\end{cases}$

$\int (x^2-2)e^{2x}\,dx=\dfrac{(x^2-2)e^{2x}}{2}-\int xe^{2x}\,dx$

$\int xe^{2x}\,dx=\dfrac{xe^{2x}}{2}-\int\dfrac{e^{2x}}{2}\,dx=\dfrac{xe^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}$

$F(x)=\dfrac{(x^2-2)e^{2x}}{2}-\dfrac{xe^{2x}}{2}+\dfrac{e^{2x}}{4}=\dfrac{(2x^2-2x-3)e^{2x}}{4}$

Aplicamos la regla de Barrow en cada uno de los dos trozos.

$A_1=\int_{-2}^{-\sqrt2}f(x)\,dx=\dfrac{(1+2\sqrt2)e^{-2\sqrt2}}{4}-\dfrac{9e^{-4}}{4}\approx0{,}0566-0{,}0412=0{,}0154$

$A_2=\int_{-\sqrt2}^{1}f(x)\,dx=-\dfrac{3e^{2}}{4}-\dfrac{(1+2\sqrt2)e^{-2\sqrt2}}{4}\approx-5{,}5418-0{,}0566=-5{,}5984$

El segundo sale negativo, como anunciaba el estudio del signo, así que tomamos su valor absoluto al sumar.

$A=|A_1|+|A_2|\approx0{,}0154+5{,}5984=5{,}6138\ \text{u}^2$

El área del recinto es de $5{,}61\ \text{u}^2$ aproximadamente; casi todo procede del trozo situado por debajo del eje OX.