Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Considere la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4} & \text{si } x \neq 2 \\[1ex] e^{k} & \text{si } x = 2 \end{cases}$

con $k \in \mathbb{R}$ un parámetro a determinar. [2,5 puntos]

a) Determine el valor del parámetro $k$ para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$. [0,75 puntos]

b) Si existen, halle las asíntotas de $f(x)$ y especifique de qué tipo son. [1 punto]

c) Obtenga la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x = 1$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Determine el valor del parámetro }\boldsymbol{k}\textbf{ para que }\boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua en }\boldsymbol{x = 2}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Para que $f$ sea continua en $x=2$ el límite del primer trozo cuando $x$ tiende a $2$ tiene que coincidir con el valor $f(2)=e^{k}$. Ese límite es una indeterminación $\frac00$, así que factorizamos numerador y denominador.

$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4),\qquad x^2-4=(x-2)(x+2)$

$\lim_{x\to2}\dfrac{x^3-8}{x^2-4}=\lim_{x\to2}\dfrac{x^2+2x+4}{x+2}=\dfrac{4+4+4}{4}=3$

Igualamos ese límite al valor de la función en el punto:

$e^{k}=3\Rightarrow k=\ln3$

La función es continua en $x=2$ únicamente para $k=\ln3$.

$\textbf{b) Si existen, halle las asíntotas de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{ y especifique de qué tipo son. [1 punto]}$

Fuera de $x=2$ la función coincide con $\frac{x^2+2x+4}{x+2}$, y un solo punto no cambia ninguna asíntota, así que trabajamos con esa expresión. Su dominio es $\mathbb{R}-\{-2\}$, que es donde hay que buscar la asíntota vertical.

$\lim_{x\to-2^{-}}\dfrac{x^2+2x+4}{x+2}=\dfrac{4}{0^{-}}=-\infty,\qquad \lim_{x\to-2^{+}}\dfrac{x^2+2x+4}{x+2}=\dfrac{4}{0^{+}}=+\infty$

Hay asíntota vertical en $x=-2$. Para las horizontales estudiamos el límite en el infinito:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2+2x+4}{x+2}=\pm\infty$

No hay asíntotas horizontales, pero como el grado del numerador supera en una unidad al del denominador puede haberla oblicua. La buscamos con la división entera, que es más rápida que los dos límites.

$\dfrac{x^2+2x+4}{x+2}=x+\dfrac{4}{x+2}$

$\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{4}{x+2}=0$

La recta $y=x$ es asíntota oblicua por los dos lados.



La función tiene dos asíntotas: una vertical, $x=-2$, y una oblicua, $y=x$. No tiene asíntotas horizontales, como era de esperar al haber encontrado una oblicua.

$\textbf{c) Obtenga la ecuación de la recta tangente a }\boldsymbol{f(x)}\textbf{ en }\boldsymbol{x = 1}\textbf{. [0,75 puntos]}$

La recta tangente en un punto pasa por él y tiene por pendiente la derivada de la función en ese punto, así que necesitamos $f(1)$ y $f'(1)$. Derivamos sobre la forma $x+\frac{4}{x+2}$, que evita la regla del cociente.

$f(1)=1+\dfrac{4}{3}=\dfrac{7}{3}$

$f'(x)=1-\dfrac{4}{(x+2)^2}$

$f'(1)=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$

$y-\dfrac{7}{3}=\dfrac{5}{9}(x-1)$

$y=\dfrac{5}{9}x-\dfrac{5}{9}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{5}{9}x+\dfrac{16}{9}$

La recta tangente a la curva en $x=1$ es $y=\dfrac{5}{9}x+\dfrac{16}{9}$.