Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} ax + y - z = 1 \\ (a^2 - 2)y + 2z = -2 \\ -x + z = 0 \end{cases}$

dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$. [2,5 puntos]

a) Halle los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible. [1,5 puntos]

b) Considere $a = 0$. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [1 punto]

$\textbf{a) Halle los valores de }\boldsymbol{a}\textbf{ para los cuales el sistema es compatible. [1,5 puntos]}$

Discutimos el sistema por el teorema de Rouché-Frobenius. Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, y empezamos por el determinante de la primera.

$M=\begin{pmatrix}a&1&-1\\ 0&a^2-2&2\\ -1&0&1\end{pmatrix},\qquad M^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}a&1&-1&1\\ 0&a^2-2&2&-2\\ -1&0&1&0\end{array}\right)$

Desarrollamos por la tercera fila, que tiene un cero.

$|M|=-1\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\ a^2-2&2\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}a&1\\ 0&a^2-2\end{vmatrix}=-\left(2+a^2-2\right)+a(a^2-2)$

$|M|=-a^2+a^3-2a=a(a^2-a-2)=a(a-2)(a+1)$

$a(a-2)(a+1)=0\Rightarrow a=0,\quad a=2,\quad a=-1$

Si $a\neq0,2,-1$, entonces $|M|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

es decir, el sistema es compatible determinado. Queda estudiar los tres valores que anulan el determinante.

Para $a=0$ tomamos el menor formado por la primera y la tercera fila y las dos primeras columnas:

$\begin{vmatrix}0&1\\ -1&0\end{vmatrix}=0+1=1\neq0\ \text{ y }\ |M|=0\Rightarrow\operatorname{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}0&1&1\\ 0&-2&-2\\ -1&0&0\end{vmatrix}=-1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\ -2&-2\end{vmatrix}=-1\cdot0=0\Rightarrow\operatorname{ran}(M^{*})=2$

Como $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=2<3$, el sistema es compatible indeterminado.

Para $a=2$ el menor de las dos primeras filas y columnas ya sirve:

$\begin{vmatrix}2&1\\ 0&2\end{vmatrix}=4\neq0\ \text{ y }\ |M|=0\Rightarrow\operatorname{ran}(M)=2$

$\begin{vmatrix}2&1&1\\ 0&2&-2\\ -1&0&0\end{vmatrix}=-1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\ 2&-2\end{vmatrix}=-1\cdot(-4)=4\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(M^{*})=3$

Los dos rangos no coinciden, así que el sistema es incompatible.

Para $a=-1$ se repite el razonamiento:

$\begin{vmatrix}-1&1\\ 0&-1\end{vmatrix}=1\neq0\ \text{ y }\ |M|=0\Rightarrow\operatorname{ran}(M)=2$

$\begin{vmatrix}-1&1&1\\ 0&-1&-2\\ -1&0&0\end{vmatrix}=-1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\ -1&-2\end{vmatrix}=-1\cdot(-1)=1\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(M^{*})=3$

y el sistema vuelve a ser incompatible.

El sistema es compatible para todos los valores de $a$ salvo $a=2$ y $a=-1$: determinado si además $a\neq0$ e indeterminado si $a=0$.

$\textbf{b) Considere }\boldsymbol{a = 0}\textbf{. Si el sistema es compatible, halle su solución general. [1 punto]}$

Por el apartado anterior, para $a=0$ el sistema es compatible indeterminado con $\operatorname{ran}(M)=2$: sobra una ecuación y queda un parámetro libre. El sistema es

$\begin{cases}y-z=1\\ -2y+2z=-2\\ -x+z=0\end{cases}$

La segunda ecuación es la primera multiplicada por $-2$, de modo que la eliminamos y nos quedamos con la primera y la tercera, que son las del menor de orden dos no nulo. Pasamos $z$ al segundo miembro como parámetro.

$z=\lambda,\ \lambda\in\mathbb{R}$

$y-\lambda=1\Rightarrow y=1+\lambda$

$-x+\lambda=0\Rightarrow x=\lambda$

La solución general del sistema para $a=0$ es

$\begin{cases}x=\lambda\\ y=1+\lambda\\ z=\lambda\end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Se trata de una recta de soluciones: a cada valor de $\lambda$ le corresponde una y solo una terna.