Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

En la Unión Europea hay aproximadamente 250 millones de hombres adultos, de los cuales 12 millones miden más de 190 cm. En Holanda hay aproximadamente 7 millones de hombres adultos, cuya altura sigue una distribución normal con media 184 cm y desviación típica 7 cm. Supongamos que elegimos un hombre adulto al azar de toda la Unión Europea.

a) Calcule la probabilidad de que mida más de 190 cm. [0,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que sea holandés. [0,25 puntos]

c) Calcule la probabilidad de que mida más de 190 cm sabiendo que es holandés. [1 punto]

d) Calcule la probabilidad de que sea holandés sabiendo que mide más de 190 cm. [1 punto]

Llamamos $H$ al suceso «el hombre elegido es holandés» y $M$ al suceso «mide más de $190\ \text{cm}$». Los dos primeros apartados salen directamente de los recuentos del enunciado, por la regla de Laplace.

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que mida más de 190 cm. [0,25 puntos]}$

De los $250$ millones de hombres adultos de la Unión Europea, $12$ millones miden más de $190\ \text{cm}$.

$P(M)=\dfrac{12}{250}=0{,}048$

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que sea holandés. [0,25 puntos]}$

De los mismos $250$ millones, $7$ millones son holandeses.

$P(H)=\dfrac{7}{250}=0{,}028$

$\textbf{c) Calcule la probabilidad de que mida más de 190 cm sabiendo que es holandés. [1 punto]}$

Condicionar a que sea holandés equivale a trabajar dentro de esa población, cuya altura sí sigue una distribución normal conocida.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(184;\,7),\qquad Z=\dfrac{X-184}{7}\sim N(0,1)$

$P(M|H)=P(X>190)=P\left(Z>\dfrac{190-184}{7}\right)=P(Z>0{,}86)$

$=1-\Phi(0{,}86)=1-0{,}8051=0{,}1949$



La probabilidad de que un holandés mida más de $190\ \text{cm}$ es $0{,}1949$, es decir, un $19{,}49\%$: cuatro veces la media europea.

$\textbf{d) Calcule la probabilidad de que sea holandés sabiendo que mide más de 190 cm. [1 punto]}$

Es la probabilidad inversa de la anterior, así que aplicamos el teorema de Bayes con los datos ya calculados.

$P(H|M)=\dfrac{P(M|H)\cdot P(H)}{P(M)}=\dfrac{0{,}1949\cdot0{,}028}{0{,}048}$

$=\dfrac{0{,}0054572}{0{,}048}\approx0{,}1137$

La probabilidad de que un europeo de más de $190\ \text{cm}$ sea holandés es $0{,}1137$, un $11{,}37\%$, frente al $2{,}8\%$ que representan los holandeses en el conjunto de la Unión.