Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Considere los puntos $A = (1, 3, 1)$, $B = (4, 1, -2)$, $C = (3, 5, 2)$, $D = (1, 1, 3)$.

a) Halle la ecuación del plano, $\Pi$, que contiene los puntos $A$, $B$, $C$. [1 punto]

b) Compruebe si el punto $D$ está contenido en el plano $\Pi$. [0,5 puntos]

c) Calcule el ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. [1 punto]

$\textbf{a) Halle la ecuación del plano, } \boldsymbol{\Pi}\textbf{, que contiene los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{, } \boldsymbol{C}\textbf{. [1 punto]}$

Un plano queda determinado por un punto y dos directores; su producto vectorial da el vector normal.

$\overrightarrow{AB}=(4,1,-2)-(1,3,1)=(3,-2,-3)$

$\overrightarrow{AC}=(3,5,2)-(1,3,1)=(2,2,1)$

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 3&-2&-3\\ 2&2&1\end{vmatrix}=(4,-9,10)$

$\Pi:4x-9y+10z+D=0$

Imponemos que $A(1,3,1)$ pertenezca al plano:

$4-27+10+D=0\Rightarrow D=13$

$\Pi:4x-9y+10z+13=0$

Comprobamos con $B(4,1,-2)$: $16-9-20+13=0$.



$\textbf{b) Compruebe si el punto } \boldsymbol{D}\textbf{ está contenido en el plano } \boldsymbol{\Pi}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Basta sustituir sus coordenadas en la ecuación del plano y ver si se cumple.

$4\cdot1-9\cdot1+10\cdot3+13=4-9+30+13=38\neq0$

El punto $D(1,1,3)$ no pertenece al plano $\Pi$; en consecuencia, los cuatro puntos no son coplanarios.

$\textbf{c) Calcule el ángulo que forman los vectores } \boldsymbol{\overrightarrow{AB}}\textbf{ y } \boldsymbol{\overrightarrow{AC}}\textbf{. [1 punto]}$

El ángulo entre dos vectores sale del producto escalar.

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6-4-3=-1$

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+4+9}=\sqrt{22},\qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4+4+1}=3$

$\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{-1}{3\sqrt{22}}\approx-0{,}0711$

$\alpha\approx94{,}08^\circ$

El coseno sale negativo, así que el ángulo es obtuso, aunque solo por poco: los dos vectores están casi en ángulo recto.