Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Considere la función $f(x) = \begin{cases} \sin(x) & \text{si } x \leq \pi/2 \\[1ex] \dfrac{2}{x} + a & \text{si } x > \pi/2 \end{cases}$, siendo $a$ un parámetro real.

a) Halle $a$ para que $f(x)$ sea continua. [0,5 puntos]

b) Calcule $\lim_{x \to \infty} f(x)$. [0,5 puntos]

c) Halle una primitiva de $f(x)$ para $x \leq \pi/2$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área de la región limitada por la función $y = f(x)$, las rectas $x = 0$, $x = \pi/2$, y el eje $OX$ de abscisas. [1 punto]

$\textbf{a) Halle } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua. [0,5 puntos]}$

Cada rama es continua por separado —un seno y una racional cuyo denominador no se anula en el tramo—, de modo que el único punto que hay que estudiar es el de empalme. Igualamos los dos límites laterales.

$\lim_{x\to(\pi/2)^{-}}\operatorname{sen}x=\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}=1$

$\lim_{x\to(\pi/2)^{+}}\left(\dfrac{2}{x}+a\right)=\dfrac{2}{\pi/2}+a=\dfrac{4}{\pi}+a$

$\dfrac{4}{\pi}+a=1\Rightarrow a=1-\dfrac{4}{\pi}\approx-0{,}2732$

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{\lim_{x \to \infty} f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Para $x$ grande manda la segunda rama, y el primer sumando se anula.

$\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2}{x}+a\right)=0+a=1-\dfrac{4}{\pi}\approx-0{,}2732$

La función tiene, pues, la asíntota horizontal $y=1-\dfrac{4}{\pi}$ por la derecha.

$\textbf{c) Halle una primitiva de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ para } \boldsymbol{x \leq \pi/2}\textbf{. [0,5 puntos]}$

En ese tramo la función es el seno, cuya integral es inmediata.

$\int\operatorname{sen}x\,dx=-\cos x+C$

Una primitiva de $f$ en $x\le\pi/2$ es $F(x)=-\cos x$.

$\textbf{d) Calcule el área de la región limitada por la función } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{, las rectas } \boldsymbol{x = 0}\textbf{, } \boldsymbol{x = \pi/2}\textbf{, y el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ de abscisas. [1 punto]}$

Todo el intervalo cae en el primer tramo, donde $f(x)=\operatorname{sen}x\ge0$, de modo que el recinto queda por encima del eje y el área es directamente la integral definida.

$A=\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}x\,dx=\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi/2}$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=-\cos\dfrac{\pi}{2}+\cos0=0+1=1$



El área de la región es de $1$ unidad de área.