Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Considere los puntos $A = (2, 1, 5)$, $B = (3, 4, 1)$ y la recta $r : \begin{cases} x = 3 - \lambda \\ y = 4 - 3\lambda \\ z = 1 - 4\lambda \end{cases}$

a) Se emite un rayo láser desde el punto $A$. Calcule la ecuación de la recta que contiene al rayo láser para que impacte en el punto $B$. [0,5 puntos]

b) Calcule la ecuación de una recta que pase por $B$ y sea perpendicular al rayo y a la recta $r$. [1 punto]

c) Calcule la ecuación del plano que contiene al rayo y a la recta $r$. [1 punto]

$\textbf{a) Se emite un rayo láser desde el punto } \boldsymbol{A}\textbf{. Calcule la ecuación de la recta que contiene al rayo láser para que impacte en el punto } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La trayectoria es la recta que pasa por los dos puntos, así que tomamos $A$ como punto y $\overrightarrow{AB}$ como director.

$\overrightarrow{AB}=(3,4,1)-(2,1,5)=(1,3,-4)$

$r':\begin{cases}x=2+\mu\\ y=1+3\mu\\ z=5-4\mu\end{cases},\qquad \mu\in\mathbb{R}$

$\textbf{b) Calcule la ecuación de una recta que pase por } \boldsymbol{B}\textbf{ y sea perpendicular al rayo y a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

Una recta perpendicular a otras dos tiene por director un vector ortogonal a los dos directores, y eso es justo lo que da el producto vectorial.

$\vec v_{r'}=(1,3,-4),\qquad \vec v_r=(-1,-3,-4)$

$\vec v_{r'}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 1&3&-4\\ -1&-3&-4\end{vmatrix}=(-24,8,0)$

Cualquier múltiplo suyo sirve igual, así que lo simplificamos dividiendo por $-8$:

$\vec v_s=(3,-1,0)$

Con ese director y el punto $B(3,4,1)$:

$s:\begin{cases}x=3+3\nu\\ y=4-\nu\\ z=1\end{cases},\qquad \nu\in\mathbb{R}$

$\textbf{c) Calcule la ecuación del plano que contiene al rayo y a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

Para que exista tal plano, las dos rectas deben cortarse o ser paralelas. Los directores no son proporcionales, así que hay que comprobar que se cortan: haciendo $\lambda=0$ en $r$ se obtiene $(3,4,1)=B$, que también está en el rayo. Las dos rectas se cortan, pues, en $B$, y determinan un plano.

Su vector normal es ortogonal a los dos directores, es decir, el mismo del apartado anterior:

$\vec n_\pi=(3,-1,0)\Rightarrow \pi:3x-y+D=0$

Imponemos que pase por $B(3,4,1)$:

$9-4+D=0\Rightarrow D=-5$

$\pi:3x-y-5=0$



Comprobamos con $A(2,1,5)$, que debe estar en el plano por pertenecer al rayo: $6-1-5=0$.