Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f(x) = \dfrac{1 - \cos(x)}{x}$.

a) Calcule la derivada primera. [0,5 puntos]

b) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = \pi$. [0,5 puntos]

c) Calcule $\lim_{x \to 0} f(x)$. [1 punto]

d) Calcule las asíntotas. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule la derivada primera. [0,5 puntos]}$

Aplicamos la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{\operatorname{sen}x\cdot x-(1-\cos x)\cdot1}{x^2}=\dfrac{x\operatorname{sen}x+\cos x-1}{x^2}$

$\textbf{b) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = \pi}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La pendiente de la tangente es el valor de la derivada en ese punto, y en $\pi$ el seno se anula y el coseno vale $-1$.

$m=f'(\pi)=\dfrac{\pi\cdot0+(-1)-1}{\pi^2}=\dfrac{-2}{\pi^2}\approx-0{,}2026$

$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{\lim_{x \to 0} f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

Aparece la indeterminación $\frac00$, que resolvemos con la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}=\left(\dfrac00\right)\overset{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{1}=\dfrac{0}{1}=0$

$\textbf{d) Calcule las asíntotas. [0,5 puntos]}$

El único punto fuera del dominio es $x=0$, y por el apartado anterior el límite ahí es finito: la discontinuidad es evitable y no hay asíntota vertical.

Asíntotas horizontales. El numerador está acotado entre $0$ y $2$ mientras el denominador crece sin límite:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1-\cos x}{x}=0\Rightarrow y=0\ \text{es asíntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal en los dos infinitos no puede haber oblicua. La única asíntota de $f$ es $y=0$.