Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones $\begin{cases} x + (1-t)y = t \\ (1+t)x - 3y = -t \end{cases}$ dependiente del parámetro $t$.

a) Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene solución única y resuélvalo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro $t$ si es necesario. [1 punto]

b) Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]

c) Determine para qué valores de $t$ el sistema no tiene solución. [0,5 puntos]

Los tres apartados salen de la misma discusión, así que empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$M=\begin{pmatrix}1&1-t\\ 1+t&-3\end{pmatrix},\qquad M^*=\left(\begin{array}{cc|c}1&1-t&t\\ 1+t&-3&-t\end{array}\right)$

$|M|=-3-(1-t)(1+t)=-3-(1-t^2)=t^2-4=(t-2)(t+2)$

$|M|=0\Rightarrow t=\pm2$

$\textbf{a) Determine para qué valores de } \boldsymbol{t}\textbf{ el sistema tiene solución única y resuélvalo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro } \boldsymbol{t}\textbf{ si es necesario. [1 punto]}$

Si $t\neq\pm2$ entonces $|M|\neq0$ y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$x=\dfrac{\begin{vmatrix}t&1-t\\ -t&-3\end{vmatrix}}{t^2-4}=\dfrac{-3t+t(1-t)}{t^2-4}=\dfrac{-t^2-2t}{t^2-4}=\dfrac{-t(t+2)}{(t-2)(t+2)}=\dfrac{-t}{t-2}$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&t\\ 1+t&-t\end{vmatrix}}{t^2-4}=\dfrac{-t-t(1+t)}{t^2-4}=\dfrac{-t^2-2t}{t^2-4}=\dfrac{-t}{t-2}$

El sistema tiene solución única para todo $t\neq\pm2$, y esa solución es

$(x,y)=\left(\dfrac{t}{2-t},\;\dfrac{t}{2-t}\right)$

Las dos incógnitas salen iguales, cosa que se puede comprobar restando las dos ecuaciones del sistema.

$\textbf{b) Determine para qué valores de } \boldsymbol{t}\textbf{ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]}$

Solo puede ocurrir en los dos valores que anulan el determinante. Con $t=-2$:

$M^*=\left(\begin{array}{cc|c}1&3&-2\\ -1&-3&2\end{array}\right)$

La segunda fila es la opuesta de la primera, también en la columna de términos independientes, de modo que sobra una ecuación:

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^*)=1<2=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado. Nos quedamos con la primera ecuación y tomamos $y=\mu$ como parámetro:

$x+3y=-2\Rightarrow x=-2-3\mu$

El sistema tiene infinitas soluciones solo para $t=-2$, y son

$(x,y)=(-2-3\mu,\;\mu),\qquad \mu\in\mathbb{R}$

$\textbf{c) Determine para qué valores de } \boldsymbol{t}\textbf{ el sistema no tiene solución. [0,5 puntos]}$

Queda por estudiar $t=2$:

$M^*=\left(\begin{array}{cc|c}1&-1&2\\ 3&-3&-2\end{array}\right)$

Las dos filas de $M$ son proporcionales, con razón $3$, pero el término independiente no la sigue, porque $3\cdot2=6\neq-2$. Por tanto

$\operatorname{ran}(M)=1\neq2=\operatorname{ran}(M^*)$

El sistema no tiene solución exactamente para $t=2$.