Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Considere los puntos $A = (1, 2, 1)$, $B = (2, 3, -4)$, $C = (4, 3, 2)$.

a) Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. [0,5 puntos]

b) Halle la ecuación del plano que contiene los tres puntos. [1 punto]

c) Calcule el área del triángulo que forman los tres puntos. [1 punto]

$\textbf{a) Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Tomamos $A$ como punto y $\overrightarrow{AB}$ como vector director.

$\overrightarrow{AB}=(2,3,-4)-(1,2,1)=(1,1,-5)$

$r:\begin{cases}x=1+\lambda\\ y=2+\lambda\\ z=1-5\lambda\end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{b) Halle la ecuación del plano que contiene los tres puntos. [1 punto]}$

Un plano queda determinado por un punto y dos directores; su producto vectorial da el vector normal.

$\overrightarrow{AC}=(4,3,2)-(1,2,1)=(3,1,1)$

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 1&1&-5\\ 3&1&1\end{vmatrix}=(6,-16,-2)$

Podemos simplificarlo dividiendo por $2$, que no cambia el plano:

$\vec n\parallel(3,-8,-1)\Rightarrow \pi:3x-8y-z+D=0$

Imponemos que $A(1,2,1)$ pertenezca al plano:

$3-16-1+D=0\Rightarrow D=14$

$\pi:3x-8y-z+14=0$

Comprobamos con $C(4,3,2)$: $12-24-2+14=0$.

$\textbf{c) Calcule el área del triángulo que forman los tres puntos. [1 punto]}$

El área es la mitad del módulo del producto vectorial ya calculado en el apartado anterior.

$\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{36+256+4}=\sqrt{296}=2\sqrt{74}$

$S=\dfrac{2\sqrt{74}}{2}=\sqrt{74}\approx8{,}6023$



El área del triángulo es $\sqrt{74}\approx8{,}6023$ unidades de área.