Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f(x) = \dfrac{2}{x^2}$.

a) Calcule el dominio y las asíntotas de $f(x)$. [1 punto]

b) Halle una primitiva de $f(x)$. [0,5 puntos]

c) Calcule el área de la región limitada por la función $y = f(x)$, las rectas $x = 1$, $x = 2$, y el eje $OX$ de abscisas. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el dominio y las asíntotas de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

La función es un cociente, y solo hay que excluir el cero del denominador.

$x^2=0\Rightarrow x=0\Rightarrow \text{Dom }f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Asíntotas verticales, en el punto excluido. El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que los dos límites laterales son $+\infty$:

$\lim_{x\to0}\dfrac{2}{x^2}=\dfrac{2}{0^{+}}=+\infty\Rightarrow x=0\ \text{es asíntota vertical}$

Asíntotas horizontales:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2}{x^2}=0\Rightarrow y=0\ \text{es asíntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal en los dos infinitos no puede haber oblicua. Las asíntotas de $f$ son, pues, $x=0$ e $y=0$.

$\textbf{b) Halle una primitiva de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Escribimos el integrando como una potencia de exponente negativo y aplicamos la regla de la potencia.

$\int\dfrac{2}{x^2}\,dx=2\int x^{-2}\,dx=2\cdot\dfrac{x^{-1}}{-1}+C=-\dfrac{2}{x}+C$

Una primitiva de $f$ es $F(x)=-\dfrac{2}{x}$.

$\textbf{c) Calcule el área de la región limitada por la función } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{, las rectas } \boldsymbol{x = 1}\textbf{, } \boldsymbol{x = 2}\textbf{, y el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ de abscisas. [1 punto]}$

En $[1,2]$ la función es positiva y no contiene la asíntota, de modo que el área es directamente la integral definida.

$A=\int_{1}^{2}\dfrac{2}{x^2}\,dx=\left[-\dfrac{2}{x}\right]_{1}^{2}$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=\left(-\dfrac22\right)-\left(-\dfrac21\right)=-1+2=1$



El área de la región es de $1$ unidad de área.