Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

En un juego de mesa se pueden comprar tanques, submarinos y aviones por 1, 3 y 5 diamantes, respectivamente. El rival ha gastado 41 diamantes. Sabemos que tiene el doble de submarinos que de tanques, y que el número de submarinos más el de aviones es 10.

a) Con la información dada, plantee un sistema de ecuaciones para hallar el número de tanques, submarinos y aviones que tiene el rival. [1 punto]

b) Clasifique el sistema. [0,5 puntos]

c) Resuelva el sistema. [1 punto]

$\textbf{a) Con la información dada, plantee un sistema de ecuaciones para hallar el número de tanques, submarinos y aviones que tiene el rival. [1 punto]}$

Llamamos $x$ al número de tanques, $y$ al de submarinos y $z$ al de aviones, y traducimos a ecuaciones los tres datos.

i) Ha gastado $41$ diamantes, a $1$, $3$ y $5$ diamantes la unidad:

$x+3y+5z=41$

ii) Tiene el doble de submarinos que de tanques:

$y=2x\Rightarrow -2x+y=0$

iii) El número de submarinos más el de aviones es $10$:

$y+z=10$

$\begin{cases}x+3y+5z=41\\ -2x+y\phantom{{}+5z}=0\\ \phantom{-2x+}y+z=10\end{cases}$

$\textbf{b) Clasifique el sistema. [0,5 puntos]}$

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$|A|=\begin{vmatrix}1&3&5\\ -2&1&0\\ 0&1&1\end{vmatrix}=1+0-10-0-0+6=-3\neq0$

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado: tiene una única solución.

$\textbf{c) Resuelva el sistema. [1 punto]}$

Como la segunda y la tercera ecuación son muy sencillas, sustituimos en lugar de aplicar Cramer.

$y=2x,\qquad z=10-y=10-2x$

Llevamos ambas a la primera ecuación:

$x+3(2x)+5(10-2x)=41$

$x+6x+50-10x=41\Rightarrow -3x=-9\Rightarrow x=3$

$y=2\cdot3=6,\qquad z=10-6=4$

Comprobamos el gasto: $3\cdot1+6\cdot3+4\cdot5=3+18+20=41$ diamantes.

El rival tiene $3$ tanques, $6$ submarinos y $4$ aviones.