Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

Un determinado test rápido para anticuerpos de COVID-19 consigue detectar concentraciones iguales o superiores a 10 U, en donde U son unidades de concentración de anticuerpos. De esta forma, concentraciones iguales o superiores a 10 U dan un resultado positivo, mientras que concentraciones inferiores a 10 U dan un resultado negativo en el test. Suponemos que la concentración de anticuerpos sigue una distribución normal con media 20 U y desviación típica 5 U y que todas las personas que han pasado la enfermedad han desarrollado anticuerpos.

a) Calcule la probabilidad de que una persona que ha pasado la enfermedad dé negativo en el test. [1,25 puntos]

b) Calcule qué concentraciones debería detectar el test para que la probabilidad calculada en el apartado anterior fuese del 1 %. [1,25 puntos]

Llamamos $X$ a la concentración de anticuerpos de una persona que ha pasado la enfermedad, que según el enunciado sigue la ley

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(20;\,5)$

y tipificamos, que es lo que permite usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-20}{5}\sim N(0,1)$

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que una persona que ha pasado la enfermedad dé negativo en el test. [1,25 puntos]}$

El test da negativo cuando la concentración es inferior a $10\ \text{U}$, así que tipificamos ese valor.

$P(X<10)=P\left(Z<\dfrac{10-20}{5}\right)=P(Z<-2)$

Las tablas solo recogen valores positivos, así que llevamos el suceso al semieje positivo por la simetría de la campana:

$P(Z<-2)=P(Z>2)=1-\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228$



La probabilidad de que una persona que ha pasado la enfermedad dé negativo es $0{,}0228$, es decir, un $2{,}28\%$ de falsos negativos.

$\textbf{b) Calcule qué concentraciones debería detectar el test para que la probabilidad calculada en el apartado anterior fuese del 1 \%. [1,25 puntos]}$

Llamamos $c$ al nuevo umbral de detección e imponemos que la cola izquierda valga $0{,}01$.

$P(X<c)=0{,}01$

Por la simetría de la campana, el valor tipificado que deja a su izquierda $0{,}01$ es el opuesto del que deja a su izquierda $0{,}99$:

$\Phi(2{,}33)=0{,}9901\Rightarrow \dfrac{c-20}{5}=-2{,}33$

$c=20-2{,}33\cdot5=20-11{,}65=8{,}35$



El test debería detectar concentraciones iguales o superiores a $8{,}35\ \text{U}$ para que los falsos negativos bajaran al $1\%$.