Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Se emite un rayo láser desde el punto $P = (1, 2, 8)$ en la dirección del vector $\vec{v} = (1, 2, -3)$. El plano $-x - y + 3z = -8$ determina la posición de una lámina de grandes dimensiones.

a) Calcule la ecuación de la recta que contiene al rayo láser. [0,5 puntos]

b) Determine la posición relativa de rayo y lámina. [1 punto]

c) Se quiere situar otra lámina que sea ortogonal al rayo y pase por el origen. Calcule la ecuación del plano de esta lámina. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la ecuación de la recta que contiene al rayo láser. [0,5 puntos]}$

El enunciado da el punto de emisión y la dirección, que es todo lo que hace falta.

$r:\begin{cases}x=1+\lambda\\ y=2+2\lambda\\ z=8-3\lambda\end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{b) Determine la posición relativa de rayo y lámina. [1 punto]}$

La posición relativa la decide el producto escalar del director del rayo por el normal de la lámina.

$\vec v=(1,2,-3),\qquad \vec n_\pi=(-1,-1,3)$

$\vec v\cdot\vec n_\pi=-1-2-9=-12\neq0$

Al no ser ortogonales, el rayo no es paralelo a la lámina ni está contenido en ella: la atraviesa en un punto. Lo localizamos sustituyendo las paramétricas en la ecuación del plano.

$-(1+\lambda)-(2+2\lambda)+3(8-3\lambda)=-8$

$-1-\lambda-2-2\lambda+24-9\lambda=-8\Rightarrow 21-12\lambda=-8\Rightarrow\lambda=\dfrac{29}{12}$



El rayo y la lámina son secantes: el rayo impacta en la lámina en el punto

$\left(\dfrac{41}{12},\;\dfrac{41}{6},\;\dfrac34\right)$

$\textbf{c) Se quiere situar otra lámina que sea ortogonal al rayo y pase por el origen. Calcule la ecuación del plano de esta lámina. [1 punto]}$

Que el plano sea ortogonal al rayo significa que el director del rayo es su vector normal.

$\vec n_\sigma=\vec v=(1,2,-3)\Rightarrow \sigma:x+2y-3z+D=0$

Imponemos que pase por el origen:

$0+0-0+D=0\Rightarrow D=0$

$\sigma:x+2y-3z=0$