Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}$.

a) Calcule la derivada primera. [0,5 puntos]

b) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = \pi$. [0,5 puntos]

c) Calcule las asíntotas. [0,5 puntos]

d) Calcule $\lim_{x \to 0} f(x)$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la derivada primera. [0,5 puntos]}$

Aplicamos la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{\cos x\cdot x-\operatorname{sen}x\cdot1}{x^2}=\dfrac{x\cos x-\operatorname{sen}x}{x^2}$

$\textbf{b) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = \pi}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La pendiente de la tangente es el valor de la derivada en ese punto, y en $\pi$ el seno se anula y el coseno vale $-1$.

$m=f'(\pi)=\dfrac{\pi\cos\pi-\operatorname{sen}\pi}{\pi^2}=\dfrac{-\pi-0}{\pi^2}=-\dfrac{1}{\pi}\approx-0{,}3183$

$\textbf{c) Calcule las asíntotas. [0,5 puntos]}$

El único punto fuera del dominio es $x=0$, así que empezamos por él.

$\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=\left(\dfrac00\right)\overset{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=1$

El límite es finito, de modo que en $x=0$ hay una discontinuidad evitable y no una asíntota vertical.

Asíntotas horizontales. El numerador está acotado entre $-1$ y $1$ mientras el denominador crece sin límite:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=0\Rightarrow y=0\ \text{es asíntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal en los dos infinitos, no puede haber oblicua. La única asíntota de $f$ es $y=0$.



$\textbf{d) Calcule } \boldsymbol{\lim_{x \to 0} f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

Es el límite ya calculado en el apartado anterior, uno de los límites notables de la trigonometría.

$\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1$

Se llega a lo mismo sin L'Hôpital: para valores pequeños de $x$ el seno y el arco son infinitésimos equivalentes.