Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Considere los puntos $A = (2, 1, 5)$, $B = (3, 4, 1)$ y la recta $r : \begin{cases} x = 3 - \lambda \\ y = 4 - 3\lambda \\ z = 1 - 4\lambda \end{cases}$

a) Calcule la ecuación de la recta, $r'$, que pase por $A$ y $B$. [0,5 puntos]

b) Determine la posición relativa de las rectas $r$ y $r'$. [1 punto]

c) Calcule el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y el origen de coordenadas. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la ecuación de la recta, } \boldsymbol{r'}\textbf{, que pase por } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Tomamos $A$ como punto y $\overrightarrow{AB}$ como vector director.

$\overrightarrow{AB}=(3,4,1)-(2,1,5)=(1,3,-4)$

$r':\begin{cases}x=2+\mu\\ y=1+3\mu\\ z=5-4\mu\end{cases},\qquad \mu\in\mathbb{R}$

$\textbf{b) Determine la posición relativa de las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{r'}\textbf{. [1 punto]}$

Leemos de las paramétricas de $r$ su punto y su director.

$P_r(3,4,1),\qquad \vec v_r=(-1,-3,-4),\qquad \vec v_{r'}=(1,3,-4)$

Los directores no son proporcionales, porque $\frac{-1}{1}=\frac{-3}{3}=-1$ pero $\frac{-4}{-4}=1$. Las rectas, por tanto, o se cortan o se cruzan. Lo que decide es si tienen algún punto común, y aquí se ve de un vistazo: el punto $P_r(3,4,1)$ de la primera es exactamente el punto $B$, que está en la segunda.

$\mu=1\Rightarrow(2+1,\,1+3,\,5-4)=(3,4,1)=B\in r'$



Las dos rectas son secantes, y se cortan precisamente en el punto $B(3,4,1)$.

$\textbf{c) Calcule el área del triángulo de vértices } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y el origen de coordenadas. [1 punto]}$

El área es la mitad del módulo del producto vectorial de dos lados con origen común; tomamos los que salen de $O$.

$\overrightarrow{OA}=(2,1,5),\qquad \overrightarrow{OB}=(3,4,1)$

$\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 2&1&5\\ 3&4&1\end{vmatrix}=(-19,13,5)$

$\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|=\sqrt{361+169+25}=\sqrt{555}$

$S=\dfrac{\sqrt{555}}{2}\approx11{,}7792$

El área del triángulo es $\dfrac{\sqrt{555}}{2}\approx11{,}7792$ unidades de área.