Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Considere la función $f(x) = -x^2 + 4x$.

a) Calcule la derivada de $f(x)$. [0,25 puntos]

b) Halle los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de $f(x)$. [0,75 puntos]

c) Calcule una primitiva de $f(x)$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área del recinto limitado por $f(x)$, las rectas $x = 1$, $x = 3$ y el eje OX de abscisas. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la derivada de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,25 puntos]}$

La derivada de un polinomio es inmediata.

$f'(x)=-2x+4$

$\textbf{b) Halle los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

La monotonía la da el signo de la derivada, que es una recta de pendiente negativa.

$f'(x)=0\Rightarrow -2x+4=0\Rightarrow x=2$

$x<2\Rightarrow f'(x)>0,\qquad x>2\Rightarrow f'(x)<0$

La función crece en $(-\infty,2)$ y decrece en $(2,+\infty)$; en $x=2$ hay un máximo relativo de valor $f(2)=4$, que es el vértice de la parábola.

$\textbf{c) Calcule una primitiva de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Integramos término a término.

$\int(-x^2+4x)\,dx=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2+C$

Una primitiva de $f$ es $F(x)=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2$.

$\textbf{d) Calcule el área del recinto limitado por } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, las rectas } \boldsymbol{x = 1}\textbf{, } \boldsymbol{x = 3}\textbf{ y el eje OX de abscisas. [1 punto]}$

Comprobamos primero el signo de la función en el intervalo. Sus ceros son

$-x^2+4x=-x(x-4)=0\Rightarrow x=0,\ x=4$

y como $[1,3]$ queda entre ellos, la parábola es positiva en todo el intervalo y el recinto está por encima del eje.

$A=\int_{1}^{3}\left(-x^2+4x\right)dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}+2x^2\right]_{1}^{3}$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=\left(-9+18\right)-\left(-\dfrac13+2\right)=9-\dfrac53=\dfrac{22}{3}$



El área del recinto es $\dfrac{22}{3}\approx7{,}3333$ unidades de área.