Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Considere los puntos $A = (1, 1, 0)$, $B = (0, 1, 1)$, $C = (-1, 0, 1)$ y el origen de coordenadas $O$.

a) Calcule la ecuación del plano, $\Pi$, que contiene a los puntos $A$, $B$ y $C$. [0,75 puntos]

b) Compruebe que el origen de coordenadas, $O$, está contenido en el plano $\Pi$. [0,25 puntos]

c) Compruebe que $\overrightarrow{AB}$ es paralelo a $\overrightarrow{OC}$ y que $\overrightarrow{AO}$ es paralelo a $\overrightarrow{BC}$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área del paralelogramo $ABCO$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la ecuación del plano, } \boldsymbol{\Pi}\textbf{, que contiene a los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Tomamos $A$ como punto y dos vectores directores desde él; su producto vectorial da el vector normal.

$\overrightarrow{AB}=(-1,0,1),\qquad \overrightarrow{AC}=(-2,-1,1)$

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ -1&0&1\\ -2&-1&1\end{vmatrix}=(1,-1,1)$

$\Pi:x-y+z+D=0$

Imponemos que $A(1,1,0)$ pertenezca al plano:

$1-1+0+D=0\Rightarrow D=0$

$\Pi:x-y+z=0$

$\textbf{b) Compruebe que el origen de coordenadas, } \boldsymbol{O}\textbf{, está contenido en el plano } \boldsymbol{\Pi}\textbf{. [0,25 puntos]}$

Basta sustituir sus coordenadas en la ecuación.

$0-0+0=0\quad\checkmark$

El origen pertenece a $\Pi$, cosa que ya anticipaba el término independiente nulo: todo plano que pasa por el origen tiene $D=0$.

$\textbf{c) Compruebe que } \boldsymbol{\overrightarrow{AB}}\textbf{ es paralelo a } \boldsymbol{\overrightarrow{OC}}\textbf{ y que } \boldsymbol{\overrightarrow{AO}}\textbf{ es paralelo a } \boldsymbol{\overrightarrow{BC}}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Dos vectores son paralelos cuando uno es múltiplo del otro. Calculamos los cuatro:

$\overrightarrow{AB}=(-1,0,1),\qquad \overrightarrow{OC}=(-1,0,1)$

$\overrightarrow{AO}=(-1,-1,0),\qquad \overrightarrow{BC}=(-1,-1,0)$

En los dos casos los vectores no solo son paralelos: son iguales. Eso es precisamente lo que caracteriza a un paralelogramo, y confirma que $ABCO$ lo es.

$\textbf{d) Calcule el área del paralelogramo } \boldsymbol{ABCO}\textbf{. [1 punto]}$

El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de los dos lados que salen de un mismo vértice. Tomamos los que salen de $A$.

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AO}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ -1&0&1\\ -1&-1&0\end{vmatrix}=(1,-1,1)$

$S=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AO}\right|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3\approx1{,}7321$



El área del paralelogramo es $\sqrt3\approx1{,}7321$ unidades de área. No es casualidad que el producto vectorial coincida con el vector normal del apartado a): los cuatro vértices están en el mismo plano.