Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Considere la función $f(x) = \dfrac{x}{e^x}$.

a) Calcule la derivada primera. [0,5 puntos]

b) Halle los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento. [0,5 puntos]

c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto $x = 2$. [0,5 puntos]

d) Calcule $\lim_{x \to \infty} f(x)$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la derivada primera. [0,5 puntos]}$

Conviene escribir la función como un producto antes de derivar, que sale más corto que la regla del cociente.

$f(x)=\dfrac{x}{e^{x}}=xe^{-x}$

$f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\left(-e^{-x}\right)=e^{-x}(1-x)$

$\textbf{b) Halle los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento. [0,5 puntos]}$

La exponencial es siempre positiva, así que el signo de la derivada lo pone solo el factor $1-x$.

$f'(x)=0\Rightarrow 1-x=0\Rightarrow x=1$

$x<1\Rightarrow 1-x>0\Rightarrow f'(x)>0,\qquad x>1\Rightarrow 1-x<0\Rightarrow f'(x)<0$



La función crece en $(-\infty,1)$ y decrece en $(1,+\infty)$; en $x=1$ hay un máximo relativo, de valor $f(1)=\frac1e\approx0{,}3679$.

$\textbf{c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{x = 2}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Necesitamos la ordenada del punto y la pendiente, que es la derivada en él.

$f(2)=2e^{-2}\approx0{,}2707,\qquad f'(2)=e^{-2}(1-2)=-e^{-2}\approx-0{,}1353$

$y-f(2)=f'(2)(x-2)\Rightarrow y-2e^{-2}=-e^{-2}(x-2)$

$y=-e^{-2}x+2e^{-2}+2e^{-2}=e^{-2}(4-x)$

La recta tangente es $y=e^{-2}(4-x)=\dfrac{4-x}{e^{2}}$.

$\textbf{d) Calcule } \boldsymbol{\lim_{x \to \infty} f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

Aparece la indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$, que se resuelve con la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}}=\left(\dfrac{\infty}{\infty}\right)\overset{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^{x}}=\dfrac{1}{+\infty}=0$

El límite vale $0$, de modo que $y=0$ es asíntota horizontal por la derecha: la exponencial es un infinito de orden superior al de $x$.