Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones $\begin{cases} \lambda^2 x + 3y = 3\lambda \\ 3x + y = 3 \end{cases}$ dependiente del parámetro $\lambda$.

a) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]

b) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene solución única y resuélvalo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro $\lambda$ si es necesario. [1 punto]

c) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema no tiene solución. [0,5 puntos]

Los tres apartados salen de la misma discusión, así que empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$M=\begin{pmatrix}\lambda^2&3\\ 3&1\end{pmatrix},\qquad M^*=\left(\begin{array}{cc|c}\lambda^2&3&3\lambda\\ 3&1&3\end{array}\right)$

$|M|=\lambda^2-9=(\lambda-3)(\lambda+3)$

$|M|=0\Rightarrow\lambda=\pm3$

$\textbf{a) Determine para qué valores de } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]}$

Solo puede ocurrir si el determinante se anula, así que estudiamos los dos valores. Con $\lambda=3$:

$M^*=\left(\begin{array}{cc|c}9&3&9\\ 3&1&3\end{array}\right)$

La primera fila es el triple de la segunda, también en la columna de términos independientes, de modo que sobra una ecuación:

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^*)=1<2=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado. Nos quedamos con la segunda ecuación y tomamos $x=\mu$ como parámetro:

$3x+y=3\Rightarrow y=3-3\mu$

El sistema tiene infinitas soluciones solo para $\lambda=3$, y son

$(x,y)=(\mu,\,3-3\mu),\qquad \mu\in\mathbb{R}$

$\textbf{b) Determine para qué valores de } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ el sistema tiene solución única y resuélvalo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ si es necesario. [1 punto]}$

Si $\lambda\neq\pm3$ entonces $|M|\neq0$ y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$x=\dfrac{\begin{vmatrix}3\lambda&3\\ 3&1\end{vmatrix}}{\lambda^2-9}=\dfrac{3\lambda-9}{\lambda^2-9}=\dfrac{3(\lambda-3)}{(\lambda-3)(\lambda+3)}=\dfrac{3}{\lambda+3}$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix}\lambda^2&3\lambda\\ 3&3\end{vmatrix}}{\lambda^2-9}=\dfrac{3\lambda^2-9\lambda}{\lambda^2-9}=\dfrac{3\lambda(\lambda-3)}{(\lambda-3)(\lambda+3)}=\dfrac{3\lambda}{\lambda+3}$

El sistema tiene solución única para todo $\lambda\neq\pm3$, y esa solución es

$(x,y)=\left(\dfrac{3}{\lambda+3},\;\dfrac{3\lambda}{\lambda+3}\right)$

$\textbf{c) Determine para qué valores de } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ el sistema no tiene solución. [0,5 puntos]}$

Queda por estudiar $\lambda=-3$:

$M^*=\left(\begin{array}{cc|c}9&3&-9\\ 3&1&3\end{array}\right)$

Las dos filas de $M$ siguen siendo proporcionales, con razón $3$, pero el término independiente no la sigue, porque $3\cdot3=9\neq-9$. Por tanto

$\operatorname{ran}(M)=1\neq2=\operatorname{ran}(M^*)$

El sistema no tiene solución exactamente para $\lambda=-3$.