Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Considere el plano $\Pi : 2x + 3y - 4z = 10$ y los puntos $A = (1, 2, 1)$, $B = (2, 3, 3)$.

a) Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. [0,5 puntos]

b) Halle el vector normal del plano $\Pi$. [0,25 puntos]

c) Determine la posición relativa del plano $\Pi$, y la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. [0,75 puntos]

d) Halle la ecuación del plano paralelo a $\Pi$ que contiene al punto $A$. [1 punto]

$\textbf{a) Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Tomamos $A$ como punto y $\overrightarrow{AB}$ como vector director.

$\overrightarrow{AB}=(2,3,3)-(1,2,1)=(1,1,2)$

$r:\begin{cases}x=1+\lambda\\ y=2+\lambda\\ z=1+2\lambda\end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{b) Halle el vector normal del plano } \boldsymbol{\Pi}\textbf{. [0,25 puntos]}$

El vector normal se lee directamente en los coeficientes de las incógnitas.

$\vec n_\Pi=(2,3,-4)$

$\textbf{c) Determine la posición relativa del plano } \boldsymbol{\Pi}\textbf{, y la recta que pasa por los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,75 puntos]}$

La posición relativa la decide el producto escalar del director de la recta por el normal del plano.

$\vec v_r\cdot\vec n_\Pi=1\cdot2+1\cdot3+2\cdot(-4)=2+3-8=-3\neq0$

Al no ser ortogonales, la recta no es paralela al plano ni está contenida en él: lo corta en un punto. Lo localizamos sustituyendo las paramétricas en la ecuación del plano.

$2(1+\lambda)+3(2+\lambda)-4(1+2\lambda)=10$

$2+2\lambda+6+3\lambda-4-8\lambda=10\Rightarrow 4-3\lambda=10\Rightarrow\lambda=-2$

$x=-1,\qquad y=0,\qquad z=-3$



La recta y el plano son secantes, y se cortan en el punto $Q(-1,0,-3)$.

$\textbf{d) Halle la ecuación del plano paralelo a } \boldsymbol{\Pi}\textbf{ que contiene al punto } \boldsymbol{A}\textbf{. [1 punto]}$

Dos planos son paralelos cuando comparten vector normal, así que el plano buscado tiene la misma ecuación salvo el término independiente.

$\sigma:2x+3y-4z=D$

Imponemos que pase por $A(1,2,1)$:

$D=2\cdot1+3\cdot2-4\cdot1=2+6-4=4$

$\sigma:2x+3y-4z=4$

Como $4\neq10$, el plano obtenido es distinto de $\Pi$ y por tanto verdaderamente paralelo a él.