Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones $\begin{cases} \lambda x - y = 1 \\ 4x - \lambda y = 2\lambda - 2 \end{cases}$ dependiente del parámetro $\lambda$.

a) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]

b) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene solución única y resuélvalo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro $\lambda$ si es necesario. [1 punto]

c) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema no tiene solución. [0,5 puntos]

Los tres apartados salen de la misma discusión, así que empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$M=\begin{pmatrix}\lambda&-1\\ 4&-\lambda\end{pmatrix},\qquad M^*=\left(\begin{array}{cc|c}\lambda&-1&1\\ 4&-\lambda&2\lambda-2\end{array}\right)$

$|M|=-\lambda^2+4=-(\lambda-2)(\lambda+2)$

$|M|=0\Rightarrow\lambda=\pm2$

$\textbf{a) Determine para qué valores de } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]}$

Solo puede ocurrir si el determinante se anula, así que estudiamos los dos valores. Con $\lambda=2$:

$M^*=\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&1\\ 4&-2&2\end{array}\right)$

La segunda fila es el doble de la primera, también en la columna de términos independientes, de modo que sobra una ecuación:

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^*)=1<2=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado. Nos quedamos con la primera ecuación y tomamos $x=\mu$ como parámetro:

$2x-y=1\Rightarrow y=2x-1$

El sistema tiene infinitas soluciones solo para $\lambda=2$, y son

$(x,y)=(\mu,\,2\mu-1),\qquad \mu\in\mathbb{R}$

$\textbf{b) Determine para qué valores de } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ el sistema tiene solución única y resuélvalo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ si es necesario. [1 punto]}$

Si $\lambda\neq\pm2$ entonces $|M|\neq0$ y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-1\\ 2\lambda-2&-\lambda\end{vmatrix}}{4-\lambda^2}=\dfrac{-\lambda+2\lambda-2}{4-\lambda^2}=\dfrac{\lambda-2}{-(\lambda-2)(\lambda+2)}=\dfrac{-1}{\lambda+2}$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix}\lambda&1\\ 4&2\lambda-2\end{vmatrix}}{4-\lambda^2}=\dfrac{2\lambda^2-2\lambda-4}{4-\lambda^2}=\dfrac{2(\lambda-2)(\lambda+1)}{-(\lambda-2)(\lambda+2)}=\dfrac{-2(\lambda+1)}{\lambda+2}$

El sistema tiene solución única para todo $\lambda\neq\pm2$, y esa solución es

$(x,y)=\left(\dfrac{-1}{\lambda+2},\;\dfrac{-2\lambda-2}{\lambda+2}\right)$

$\textbf{c) Determine para qué valores de } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ el sistema no tiene solución. [0,5 puntos]}$

Queda por estudiar $\lambda=-2$:

$M^*=\left(\begin{array}{cc|c}-2&-1&1\\ 4&2&-6\end{array}\right)$

Ahora la segunda fila de $M$ sigue siendo proporcional a la primera —con razón $-2$—, pero el término independiente no la sigue, porque $-2\cdot1=-2\neq-6$. Por tanto

$\operatorname{ran}(M)=1\neq2=\operatorname{ran}(M^*)$

El sistema no tiene solución exactamente para $\lambda=-2$.