Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

La testosterona es una hormona que se produce en el cuerpo de los hombres. En ciclismo la testosterona puede utilizarse como sustancia dopante, de forma que niveles elevados se consideran ilegales. En una población dada, la concentración de testosterona en sangre para un hombre adulto que no se haya dopado, sigue una distribución normal con media 600 ng/dl, y desviación típica 200 ng/dl.

a) Calcule la probabilidad de que un ciclista presente más de 1000 ng/dl de testosterona en sangre sin haberse dopado. [1,25 puntos]

b) ¿Qué nivel de testosterona elegiría como límite en un control antidopaje, para que la probabilidad de acusar a un inocente sea de 1 entre 1000? [1,25 puntos]

Llamamos $X$ a la concentración de testosterona en sangre de un hombre adulto no dopado, que según el enunciado sigue la ley

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(600;\,200)$

y tipificamos, que es lo que permite usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-600}{200}\sim N(0,1)$

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un ciclista presente más de 1000 ng/dl de testosterona en sangre sin haberse dopado. [1,25 puntos]}$

Tipificamos el valor $1000$ y pasamos al suceso contrario, porque la tabla da el área acumulada.

$P(X>1000)=P\left(Z>\dfrac{1000-600}{200}\right)=P(Z>2)$

$=1-\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228$



La probabilidad de que un ciclista limpio supere los $1000\ \text{ng/dl}$ es $0{,}0228$, es decir, un $2{,}28\%$.

$\textbf{b) ¿Qué nivel de testosterona elegiría como límite en un control antidopaje, para que la probabilidad de acusar a un inocente sea de 1 entre 1000? [1,25 puntos]}$

Acusar a un inocente es que un ciclista no dopado supere el límite, así que llamamos $k$ a ese límite e imponemos

$P(X>k)=\dfrac{1}{1000}=0{,}001\Rightarrow P(X<k)=0{,}999$

Buscamos en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda esa área:

$P\left(Z<\dfrac{k-600}{200}\right)=0{,}999\Rightarrow \Phi(3{,}09)=0{,}9990\Rightarrow \dfrac{k-600}{200}=3{,}09$

$k=600+3{,}09\cdot200=600+618=1218$



El límite del control debería fijarse en $1218\ \text{ng/dl}$ para que solo uno de cada mil ciclistas limpios resultara acusado.