Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Se dispara un misil en línea recta desde el punto $A = (1, 2, 8)$ hacia la posición de la base enemiga $B = (3, 4, 0)$.

a) Calcule la ecuación de la recta que contiene la trayectoria del misil. [0,5 puntos]

b) Calcule el punto en el que el misil cruza el plano $z = 4$. [0,5 puntos]

c) Calcule la distancia que recorre el misil desde que se lanza hasta que impacta en $B$. [0,5 puntos]

d) Calcule un vector perpendicular a los vectores $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{AB}$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la ecuación de la recta que contiene la trayectoria del misil. [0,5 puntos]}$

La trayectoria es la recta que pasa por los dos puntos, así que tomamos $A$ como punto y $\overrightarrow{AB}$ como director, simplificándolo por el factor común.

$\overrightarrow{AB}=(3,4,0)-(1,2,8)=(2,2,-8)\parallel(1,1,-4)$

$r:\begin{cases}x=1+\lambda\\ y=2+\lambda\\ z=8-4\lambda\end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{b) Calcule el punto en el que el misil cruza el plano } \boldsymbol{z = 4}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Basta imponer la condición del plano en la tercera coordenada de la recta.

$8-4\lambda=4\Rightarrow\lambda=1$

$x=1+1=2,\qquad y=2+1=3,\qquad z=4$

El misil cruza el plano $z=4$ en el punto $P(2,3,4)$, que es justo el punto medio de $A$ y $B$.



$\textbf{c) Calcule la distancia que recorre el misil desde que se lanza hasta que impacta en } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Como la trayectoria es rectilínea, la distancia recorrida es el módulo del vector que une los dos puntos.

$d(A,B)=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{2^2+2^2+(-8)^2}=\sqrt{4+4+64}=\sqrt{72}$

$=6\sqrt2\approx8{,}4853\ \text{u}$

$\textbf{d) Calcule un vector perpendicular a los vectores } \boldsymbol{\overrightarrow{OB}}\textbf{ y } \boldsymbol{\overrightarrow{AB}}\textbf{. [1 punto]}$

El producto vectorial de dos vectores es perpendicular a los dos, así que basta calcularlo.

$\overrightarrow{OB}=(3,4,0),\qquad \overrightarrow{AB}=(2,2,-8)$

$\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 3&4&0\\ 2&2&-8\end{vmatrix}=(-32,24,-2)$

Cualquier múltiplo suyo sirve igual, así que lo simplificamos dividiendo por $2$:

$\vec w=(-16,12,-1)$

Comprobamos que es ortogonal a los dos:

$\vec w\cdot\overrightarrow{OB}=-48+48+0=0,\qquad \vec w\cdot\overrightarrow{AB}=-32+24+8=0$

El vector $(-16,12,-1)$ es perpendicular a $\overrightarrow{OB}$ y a $\overrightarrow{AB}$.