Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Considere la función $f(x) = x^2$.

a) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$. Llamaremos a dicha recta $g(x)$. [0,5 puntos]

b) Calcule el área de la región limitada por las rectas $g(x)$, $x = \frac{1}{2}$, $x = 1$, y el eje $OX$ de abscisas. [0,5 puntos]

c) Halle una primitiva $F(x)$ de la función $f(x)$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función $f(x)$, y las rectas $g(x)$, $x = \frac{1}{2}$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 1}\textbf{. Llamaremos a dicha recta } \boldsymbol{g(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La recta tangente pasa por el punto de la curva y tiene por pendiente la derivada en él.

$f(1)=1^2=1,\qquad f'(x)=2x\Rightarrow f'(1)=2$

$y-f(1)=f'(1)(x-1)\Rightarrow y-1=2(x-1)$

$g(x)=2x-1$

$\textbf{b) Calcule el área de la región limitada por las rectas } \boldsymbol{g(x)}\textbf{, } \boldsymbol{x = \frac{1}{2}}\textbf{, } \boldsymbol{x = 1}\textbf{, y el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ de abscisas. [0,5 puntos]}$

Comprobamos primero el signo de $g$ en el intervalo. Su único cero es

$2x-1=0\Rightarrow x=\dfrac12$

de modo que $g(x)\ge0$ en todo $\left[\frac12,1\right]$ y el recinto queda por encima del eje.

$A=\int_{1/2}^{1}(2x-1)\,dx=\left[x^2-x\right]_{1/2}^{1}$

$=(1-1)-\left(\dfrac14-\dfrac12\right)=0+\dfrac14=\dfrac14$

El área es $\dfrac14=0{,}25$ unidades de área. Se puede comprobar sin integrar: el recinto es un triángulo rectángulo de catetos $\frac12$ y $1$.

$\textbf{c) Halle una primitiva } \boldsymbol{F(x)}\textbf{ de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La integral es inmediata.

$\int x^2\,dx=\dfrac{x^3}{3}+C\Rightarrow F(x)=\dfrac{x^3}{3}$

$\textbf{d) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, y las rectas } \boldsymbol{g(x)}\textbf{, } \boldsymbol{x = \frac{1}{2}}\textbf{. [1 punto]}$

Empezamos viendo cuál de las dos gráficas va por encima. La diferencia es un cuadrado perfecto:

$f(x)-g(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\ge0$

Es decir, la parábola queda siempre por encima de su tangente y las dos solo se tocan en $x=1$, que es el punto de tangencia. El recinto está limitado, pues, por la recta $x=\frac12$ a la izquierda y por ese contacto a la derecha.

$A=\int_{1/2}^{1}\left[f(x)-g(x)\right]dx=\int_{1/2}^{1}(x-1)^2\,dx$

$=\left[\dfrac{(x-1)^3}{3}\right]_{1/2}^{1}=0-\dfrac{\left(-\frac12\right)^3}{3}=\dfrac{1}{24}$



El área de la región es $\dfrac{1}{24}\approx0{,}0417$ unidades de área.