Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Considere la recta $r : \dfrac{x+1}{-1} = \dfrac{y+3}{2} = \dfrac{z}{1}$ y el plano $\pi : x - 2y - z = -1$.

a) Estudie la posición relativa de recta y plano. [1 punto]

b) Si $r$ corta a $\pi$ calcule el punto de corte y el ángulo que forman. Si la recta no corta al plano, calcule la distancia entre ambos. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie la posición relativa de recta y plano. [1 punto]}$

Leemos de las ecuaciones un punto y el director de la recta, y el vector normal del plano.

$r:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z}{1}\Rightarrow P(-1,-3,0),\ \vec v_r=(-1,2,1)$

$\pi:x-2y-z=-1\Rightarrow \vec n_\pi=(1,-2,-1)$

La posición relativa la decide el producto escalar de los dos vectores.

$\vec v_r\cdot\vec n_\pi=-1-4-1=-6\neq0$

Al no ser ortogonales, la recta corta al plano en un punto. Hay además algo más fuerte que conviene notar:

$\vec v_r=(-1,2,1)=-(1,-2,-1)=-\vec n_\pi$

El director de la recta es proporcional al normal del plano, de modo que $r$ no solo corta a $\pi$: lo atraviesa perpendicularmente.



$\textbf{b) Si } \boldsymbol{r}\textbf{ corta a } \boldsymbol{\pi}\textbf{ calcule el punto de corte y el ángulo que forman. Si la recta no corta al plano, calcule la distancia entre ambos. [1,5 puntos]}$

Escribimos $r$ en paramétricas y sustituimos en la ecuación del plano.

$r:\begin{cases}x=-1-\lambda\\ y=-3+2\lambda\\ z=\lambda\end{cases}$

$(-1-\lambda)-2(-3+2\lambda)-\lambda=-1$

$-1-\lambda+6-4\lambda-\lambda=-1\Rightarrow 5-6\lambda=-1\Rightarrow\lambda=1$

$x=-2,\qquad y=-1,\qquad z=1$

El punto de corte es $Q(-2,-1,1)$.

El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del que forman el director y el normal, y por eso se calcula con el seno:

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\left|\vec v_r\cdot\vec n_\pi\right|}{|\vec v_r|\,|\vec n_\pi|}=\dfrac{6}{\sqrt6\cdot\sqrt6}=\dfrac66=1$

$\operatorname{sen}\alpha=1\Rightarrow\alpha=90^\circ$

La recta corta al plano en $Q(-2,-1,1)$ y lo hace formando un ángulo de $90^\circ$, como ya anticipaba el apartado anterior.