Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

El tiempo de vuelo de un avión Santander – Madrid sigue una distribución normal de media 60 minutos y desviación típica 5 minutos.

a) Para conectar con el siguiente vuelo con destino Sevilla, se necesita que el avión tarde menos de $T = 70$ minutos. Calcule la probabilidad de perder el avión a Sevilla. [1,25 puntos]

b) Calcule cuánto debe valer $T$ para que la probabilidad de perder el avión sea del 0,1 %. [1,25 puntos]

Llamamos $X$ al tiempo de vuelo Santander-Madrid, que según el enunciado sigue la ley

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(60;\,5)$

y tipificamos, que es lo que permite usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-60}{5}\sim N(0,1)$

$\textbf{a) Para conectar con el siguiente vuelo con destino Sevilla, se necesita que el avión tarde menos de } \boldsymbol{T = 70}\textbf{ minutos. Calcule la probabilidad de perder el avión a Sevilla. [1,25 puntos]}$

Se pierde la conexión cuando el vuelo tarda $70$ minutos o más, así que hay que calcular la probabilidad de la cola derecha.

$P(X>70)=P\left(Z>\dfrac{70-60}{5}\right)=P(Z>2)$

La tabla da el área acumulada, de modo que pasamos al suceso contrario:

$P(Z>2)=1-\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228$



La probabilidad de perder el avión a Sevilla es $0{,}0228$, es decir, un $2{,}28\%$ de los vuelos.

$\textbf{b) Calcule cuánto debe valer } \boldsymbol{T}\textbf{ para que la probabilidad de perder el avión sea del 0,1 \%. [1,25 puntos]}$

Ahora la incógnita es el tiempo de conexión. Imponemos que la cola derecha valga $0{,}001$.

$P(X>T)=0{,}001\Rightarrow P(X<T)=0{,}999$

Buscamos en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda esa área:

$P\left(Z<\dfrac{T-60}{5}\right)=0{,}999\Rightarrow \Phi(3{,}09)=0{,}9990\Rightarrow \dfrac{T-60}{5}=3{,}09$

$T=60+3{,}09\cdot5=60+15{,}45=75{,}45$



El tiempo de conexión debe ser de $75{,}45$ minutos para que la probabilidad de perder el avión baje al $0{,}1\%$.