Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Los puntos $A = (0, -1, 1)$, $B = (1, 1, 1)$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice está contenido en la recta $r$ que pasa por el punto $B$ y es perpendicular al plano $\pi : 2x - y + z = 1$.

a) Calcule la ecuación de la recta $r$. [1,5 puntos]

b) Calcule las coordenadas del vértice $C$ sabiendo que el área del triángulo es $3\sqrt{30}$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la ecuación de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Que una recta sea perpendicular a un plano significa que su vector director es el vector normal de ese plano, y ese se lee directamente en los coeficientes de la ecuación.

$\vec n_\pi=(2,-1,1)\Rightarrow \vec v_r=(2,-1,1)$

Con ese director y el punto $B(1,1,1)$ que da el enunciado:

$r:\begin{cases}x=1+2\lambda\\ y=1-\lambda\\ z=1+\lambda\end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$



$\textbf{b) Calcule las coordenadas del vértice } \boldsymbol{C}\textbf{ sabiendo que el área del triángulo es } \boldsymbol{3\sqrt{30}}\textbf{. [1 punto]}$

El vértice $C$ es un punto de $r$, así que sus coordenadas dependen del parámetro. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos lados con origen común, y la imponemos igual al dato.

$\overrightarrow{AB}=(1,2,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(1+2\lambda,\,2-\lambda,\,\lambda)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 1&2&0\\ 1+2\lambda&2-\lambda&\lambda\end{vmatrix}=(2\lambda,\,-\lambda,\,-5\lambda)$

$\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=|\lambda|\sqrt{4+1+25}=|\lambda|\sqrt{30}$

$S=\dfrac{|\lambda|\sqrt{30}}{2}=3\sqrt{30}\Rightarrow|\lambda|=6\Rightarrow\lambda=\pm6$

Los dos signos son válidos, porque $C$ puede estar a cualquiera de los dos lados del plano.

$\lambda=6\Rightarrow C(13,-5,7),\qquad \lambda=-6\Rightarrow C(-11,7,-5)$

Hay dos vértices posibles, $C(13,-5,7)$ y $C(-11,7,-5)$, simétricos respecto del punto $B$.