Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2022

Considere la función $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$.

a) Calcule la derivada primera de $f(x)$. [0,5 puntos]

b) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$. [0,5 puntos]

c) Calcule las asíntotas verticales de $f(x)$. [0,5 puntos]

d) Calcule las asíntotas horizontales de $f(x)$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la derivada primera de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Aplicamos la regla del cociente y sacamos factor común la exponencial.

$f'(x)=\dfrac{e^{x}\cdot x-e^{x}\cdot1}{x^2}=\dfrac{e^{x}(x-1)}{x^2}$

$\textbf{b) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 2}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en ese punto.

$m=f'(2)=\dfrac{e^{2}(2-1)}{2^2}=\dfrac{e^{2}}{4}\approx1{,}8473$

La pendiente de la recta tangente en $x=2$ es $\dfrac{e^{2}}{4}\approx1{,}8473$.

$\textbf{c) Calcule las asíntotas verticales de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La función es un cociente, y el único punto que queda fuera del dominio es el cero del denominador.

$\text{Dom }f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

$\lim_{x\to0^{-}}\dfrac{e^{x}}{x}=\dfrac{1}{0^{-}}=-\infty,\qquad \lim_{x\to0^{+}}\dfrac{e^{x}}{x}=\dfrac{1}{0^{+}}=+\infty$

Los dos límites laterales son infinitos, luego $x=0$ es asíntota vertical, y es la única.

$\textbf{d) Calcule las asíntotas horizontales de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

Hay que estudiar el comportamiento en los dos infinitos, y sale distinto en cada uno.

$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=\dfrac{0}{-\infty}=0$

porque la exponencial tiende a cero mientras el denominador crece en valor absoluto. Por tanto $y=0$ es asíntota horizontal por la izquierda.

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=\left(\dfrac{\infty}{\infty}\right)\overset{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{1}=+\infty$

de modo que por la derecha no hay asíntota horizontal: la exponencial es un infinito de orden superior al de $x$.



La única asíntota horizontal es $y=0$, y solo por la izquierda.