Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$: $\begin{cases} tx + y + z = 4 \\ x - ty + z = 1 \\ x + y + z = t + 2 \end{cases}$

a) Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene solución única. [0,75 puntos]

b) Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]

c) Determine para qué valores de $t$ el sistema no tiene solución. [0,75 puntos]

Los tres apartados salen de la misma discusión, así que empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes y localizando los valores del parámetro que lo anulan.

$M=\begin{pmatrix}t&1&1\\ 1&-t&1\\ 1&1&1\end{pmatrix},\qquad M^*=\left(\begin{array}{ccc|c}t&1&1&4\\ 1&-t&1&1\\ 1&1&1&t+2\end{array}\right)$

Desarrollando por la primera fila:

$|M|=t(-t-1)-1(1-1)+1(1+t)=-t^2-t+1+t=1-t^2$

$1-t^2=0\Rightarrow t=\pm1$

$\textbf{a) Determine para qué valores de } \boldsymbol{t}\textbf{ el sistema tiene solución única. [0,75 puntos]}$

Si $t\neq\pm1$ el determinante no se anula y, por el teorema de Rouché-Frobenius,

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^*)=3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema tiene solución única para todo $t\in\mathbb{R}$ con $t\neq1$ y $t\neq-1$.

$\textbf{b) Determine para qué valores de } \boldsymbol{t}\textbf{ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]}$

Solo puede ocurrir en los dos valores que anulan el determinante. Con $t=-1$:

$M^*=\left(\begin{array}{ccc|c}-1&1&1&4\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\end{array}\right)$

Las dos últimas filas son idénticas, y el menor

$\begin{vmatrix}-1&1\\ 1&1\end{vmatrix}=-1-1=-2\neq0$

deja exactamente dos filas independientes tanto en $M$ como en $M^*$:

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^*)=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Restando la primera ecuación de la segunda se despeja $x$ directamente:

$(x+y+z)-(-x+y+z)=1-4\Rightarrow 2x=-3\Rightarrow x=-\dfrac32$

y tomando $z=\lambda$ como parámetro:

$y+z=1-x=\dfrac52\Rightarrow y=\dfrac52-\lambda$

El sistema tiene infinitas soluciones solo para $t=-1$, y son

$(x,y,z)=\left(-\dfrac32,\;\dfrac52-\lambda,\;\lambda\right),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{c) Determine para qué valores de } \boldsymbol{t}\textbf{ el sistema no tiene solución. [0,75 puntos]}$

Queda por estudiar $t=1$:

$M^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4\\ 1&-1&1&1\\ 1&1&1&3\end{array}\right)$

La primera y la tercera ecuación tienen el mismo primer miembro y distinto término independiente, $4$ y $3$, de modo que ningún punto puede cumplir las dos. Formalmente, $\operatorname{ran}(M)=2$ y

$\begin{vmatrix}1&1&4\\ 1&-1&1\\ 1&1&3\end{vmatrix}=-3+1+4+4-1-3=2\neq0\Rightarrow \operatorname{ran}(M^*)=3$

El sistema no tiene solución exactamente para $t=1$.