Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Los puntos $A = (2, 0, 0)$, $B = (-1, 12, 4)$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice se encuentra en la recta $r : \begin{cases} 4x + 3z = 33 \\ y = 0 \end{cases}$

a) Calcule las coordenadas del tercer vértice $C$, sabiendo que la recta $r$ es perpendicular a la recta que pasa por los puntos $A$ y $C$. [1,5 puntos]

b) Determine el ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. [0,5 puntos]

c) Calcule el área del triángulo $ABC$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule las coordenadas del tercer vértice } \boldsymbol{C}\textbf{, sabiendo que la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ es perpendicular a la recta que pasa por los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Empezamos escribiendo $r$ en paramétricas. Su vector director es el producto vectorial de los normales de los dos planos que la definen.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 4&0&3\\ 0&1&0\end{vmatrix}=(-3,0,4)$

Un punto de $r$ se obtiene dando un valor a $z$; con $z=3$ resulta $4x=33-9=24$, es decir, $x=6$:

$r:\begin{cases}x=6-3\mu\\ y=0\\ z=3+4\mu\end{cases},\qquad C(6-3\mu,\,0,\,3+4\mu)$

Como $C\in r$, la recta que pasa por $A$ y $C$ tiene por director $\overrightarrow{AC}$, y la condición del enunciado es que ese vector sea ortogonal a $\vec v_r$: su producto escalar debe anularse.

$\overrightarrow{AC}=(6-3\mu-2,\,0,\,3+4\mu)=(4-3\mu,\,0,\,3+4\mu)$

$\vec v_r\cdot\overrightarrow{AC}=-3(4-3\mu)+4(3+4\mu)=-12+9\mu+12+16\mu=25\mu$

$25\mu=0\Rightarrow\mu=0$



El tercer vértice es $C(6,0,3)$.

$\textbf{b) Determine el ángulo que forman los vectores } \boldsymbol{\overrightarrow{AB}}\textbf{ y } \boldsymbol{\overrightarrow{AC}}\textbf{. [0,5 puntos]}$

El ángulo entre dos vectores sale del producto escalar.

$\overrightarrow{AB}=(-3,12,4),\qquad \overrightarrow{AC}=(4,0,3)$

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-12+0+12=0$

El producto escalar es nulo, de modo que no hace falta calcular los módulos:

$\cos\alpha=0\Rightarrow\alpha=90^\circ$

Los dos vectores son perpendiculares: el triángulo es rectángulo en $A$.

$\textbf{c) Calcule el área del triángulo } \boldsymbol{ABC}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Al ser rectángulo en $A$, los dos lados que salen de ese vértice son los catetos y el área es su semiproducto.

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+144+16}=\sqrt{169}=13,\qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{16+0+9}=\sqrt{25}=5$

$S=\dfrac{13\cdot5}{2}=\dfrac{65}{2}=32{,}5$

El área del triángulo es $32{,}5$ unidades de área. Se llega al mismo valor con el producto vectorial, ya que $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(36,25,-48)$ tiene módulo $\sqrt{4225}=65$.