Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2022

Considere la función $f(x) = x^2 e^{-x}$.

a) Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. [1 punto]

b) Calcule la derivada primera de $f(x)$. [0,5 puntos]

c) Determine los extremos relativos de $f(x)$. [0,5 puntos]

d) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{\lim_{x \to +\infty} f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{\lim_{x \to -\infty} f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

En $+\infty$ aparece la indeterminación $\infty\cdot0$, que se resuelve escribiendo la exponencial en el denominador y aplicando dos veces la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{e^{x}}=\left(\dfrac{\infty}{\infty}\right)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{e^{x}}=0$

En $-\infty$ no hay indeterminación: los dos factores se van a $+\infty$.

$\lim_{x\to-\infty}x^2e^{-x}=(+\infty)\cdot(+\infty)=+\infty$

$\textbf{b) Calcule la derivada primera de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Derivamos el producto y sacamos factor común la exponencial.

$f'(x)=2xe^{-x}+x^2\left(-e^{-x}\right)=e^{-x}\left(2x-x^2\right)$

$f'(x)=-x(x-2)e^{-x}$

$\textbf{c) Determine los extremos relativos de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Igualamos la derivada a cero. La exponencial no se anula nunca, así que solo cuenta el factor polinómico.

$-x(x-2)e^{-x}=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ x=2\end{cases}$

Estudiamos el signo de $f'$ a un lado y otro de cada punto crítico.

$f'(-1)=-(-1)(-3)e^{1}\approx-8{,}15<0,\quad f'(1)=-(1)(-1)e^{-1}\approx0{,}37>0,\quad f'(3)=-(3)(1)e^{-3}\approx-0{,}15<0$



En $x=0$ la función pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo, y en $x=2$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo.

$f(0)=0,\qquad f(2)=4e^{-2}\approx0{,}5413$

Los extremos relativos son el mínimo $(0,0)$ y el máximo $\left(2,\,4e^{-2}\right)\approx(2;\,0{,}5413)$.

$\textbf{d) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Del estudio de signos del apartado anterior se lee directamente la monotonía.

La función crece en $(0,2)$ y decrece en $(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$.