Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

En un almacén, el peso de los contenedores sigue una distribución normal con media 100 kg y desviación típica 10 kg. Cada contenedor se carga individualmente en un montacargas, que tiene una capacidad de 120 kg. Si el peso del contenedor supera dicha capacidad, salta una alarma. Se coloca en el montacargas un contenedor escogido al azar.

a) Calcule la probabilidad de que salte la alarma. [1,25 puntos]

b) Calcule cuál debería ser la capacidad del montacargas para que la alarma salte solo en un 1 % de las veces que cargamos un contenedor al azar. [1,25 puntos]

Llamamos $X$ al peso de un contenedor elegido al azar, que según el enunciado sigue la ley

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(100;\,10)$

y tipificamos, que es lo que permite usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-100}{10}\sim N(0,1)$

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que salte la alarma. [1,25 puntos]}$

La alarma salta cuando el peso supera los $120\ \text{kg}$, así que tipificamos ese valor.

$P(X>120)=P\left(Z>\dfrac{120-100}{10}\right)=P(Z>2)$

La tabla da el área acumulada, de modo que pasamos al suceso contrario:

$P(Z>2)=1-\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228$



La probabilidad de que salte la alarma es $0{,}0228$, es decir, un $2{,}28\%$ de las cargas.

$\textbf{b) Calcule cuál debería ser la capacidad del montacargas para que la alarma salte solo en un 1 \% de las veces que cargamos un contenedor al azar. [1,25 puntos]}$

Ahora la incógnita es la capacidad. Llamamos $k$ al valor buscado; que la alarma salte el $1\%$ de las veces significa

$P(X>k)=0{,}01\Rightarrow P(X<k)=0{,}99$

Buscamos en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda esa área:

$P\left(Z<\dfrac{k-100}{10}\right)=0{,}99\Rightarrow \Phi(2{,}33)=0{,}9901\Rightarrow \dfrac{k-100}{10}=2{,}33$

$k=100+2{,}33\cdot10=123{,}3$



La capacidad del montacargas debería ser de $123{,}3\ \text{kg}$ para que la alarma salte solo en el $1\%$ de las cargas.