Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. Considere el triángulo de vértices $A = (-1, 2, 3)$, $B = (3, -4, 1)$, $C = (1, -4, 5)$.

a) Calcule las ecuaciones de las tres medianas del triángulo $ABC$. [1,5 puntos]

b) Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto y calcule las coordenadas de dicho punto. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule las ecuaciones de las tres medianas del triángulo } \boldsymbol{ABC}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Cada mediana está determinada por un vértice y el punto medio del lado opuesto, así que empezamos calculando los tres puntos medios promediando coordenada a coordenada.

$M_A=\dfrac{B+C}{2}=\left(\dfrac{3+1}{2},\dfrac{-4-4}{2},\dfrac{1+5}{2}\right)=(2,-4,3)$

$M_B=\dfrac{A+C}{2}=\left(\dfrac{-1+1}{2},\dfrac{2-4}{2},\dfrac{3+5}{2}\right)=(0,-1,4)$

$M_C=\dfrac{A+B}{2}=\left(\dfrac{-1+3}{2},\dfrac{2-4}{2},\dfrac{3+1}{2}\right)=(1,-1,2)$

Los vectores directores son los que van de cada vértice a su punto medio, y se pueden simplificar dividiendo por el factor común.

$\overrightarrow{AM_A}=(3,-6,0)\parallel(1,-2,0),\quad \overrightarrow{BM_B}=(-3,3,3)\parallel(-1,1,1),\quad \overrightarrow{CM_C}=(0,3,-3)\parallel(0,1,-1)$

$m_A:\begin{cases}x=-1+\lambda\\ y=2-2\lambda\\ z=3\end{cases}\qquad m_B:\begin{cases}x=3-\lambda\\ y=-4+\lambda\\ z=1+\lambda\end{cases}\qquad m_C:\begin{cases}x=1\\ y=-4+\lambda\\ z=5-\lambda\end{cases}$

con $\lambda\in\mathbb{R}$ en las tres.

$\textbf{b) Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto y calcule las coordenadas de dicho punto. [1 punto]}$

Cortamos dos de ellas y comprobamos después que la tercera pasa por el punto obtenido. Igualamos $m_A$ y $m_C$, que es el par más cómodo porque cada una tiene una coordenada constante:

$m_A$ obliga a $z=3$ y $m_C$ obliga a $x=1$. Llevando $x=1$ a $m_A$:

$-1+\lambda=1\Rightarrow\lambda=2\Rightarrow y=2-4=-2$

de donde el punto de corte es $G(1,-2,3)$. Lo comprobamos ahora en $m_C$ y en $m_B$, en las dos con $\lambda=2$:

$m_C:\ (1,\,-4+2,\,5-2)=(1,-2,3)\quad\checkmark$

$m_B:\ (3-2,\,-4+2,\,1+2)=(1,-2,3)\quad\checkmark$



Las tres medianas se cortan en el punto $G(1,-2,3)$, que es el baricentro del triángulo. No es casualidad que salga la media aritmética de los tres vértices:

$\dfrac{A+B+C}{3}=\left(\dfrac{-1+3+1}{3},\dfrac{2-4-4}{3},\dfrac{3+1+5}{3}\right)=(1,-2,3)$