Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2022

Una imprenta debe diseñar un cartel con $90 \text{ cm}^2$ de área para texto y además, con margen superior 3 cm, inferior 2 cm y márgenes laterales 4 cm cada uno.

a) Realice un dibujo planteando el problema. [0,25 puntos]

b) Calcule las dimensiones (anchura y altura) que debe tener el cartel de manera que se utilice la menor cantidad de papel posible. [2,25 puntos]

$\textbf{a) Realice un dibujo planteando el problema. [0,25 puntos]}$

Llamamos $x$ a la anchura de la zona de texto e $y$ a su altura. El cartel es ese rectángulo interior más los cuatro márgenes: $3\ \text{cm}$ arriba, $2\ \text{cm}$ abajo y $4\ \text{cm}$ a cada lado.



$\textbf{b) Calcule las dimensiones (anchura y altura) que debe tener el cartel de manera que se utilice la menor cantidad de papel posible. [2,25 puntos]}$

El papel usado es la superficie total del cartel, que es lo que hay que minimizar. Leyendo las dimensiones en el dibujo:

$S=(x+8)(y+5)$

La condición del enunciado relaciona las dos variables y permite dejar una sola:

$xy=90\Rightarrow y=\dfrac{90}{x}$

$S(x)=(x+8)\left(\dfrac{90}{x}+5\right)=90+5x+\dfrac{720}{x}+40$

$S(x)=5x+130+\dfrac{720}{x},\qquad x>0$

Derivamos e igualamos a cero para buscar el mínimo.

$S'(x)=5-\dfrac{720}{x^2}=0\Rightarrow 5x^2=720\Rightarrow x^2=144\Rightarrow x=\pm12$

Se descarta $x=-12$ por ser una longitud. Comprobamos con la derivada segunda que $x=12$ da mínimo:

$S''(x)=\dfrac{1440}{x^3}\Rightarrow S''(12)=\dfrac{1440}{1728}>0$

Como es el único extremo del dominio y la segunda derivada es positiva en todo él, ese mínimo relativo es el mínimo absoluto. La altura de la zona de texto es

$y=\dfrac{90}{12}=7{,}5\ \text{cm}$

y las dimensiones del cartel resultan

$\text{anchura}=x+8=20\ \text{cm},\qquad \text{altura}=y+5=12{,}5\ \text{cm}$

El cartel que gasta menos papel mide $20\ \text{cm}$ de ancho por $12{,}5\ \text{cm}$ de alto, con una superficie de $250\ \text{cm}^2$.