Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

En una población determinada la altura de los niños de 17 años sigue una distribución normal de media 175 cm y desviación típica 7,41.

a) Calcule la probabilidad de que en dicha población la altura de un niño de 17 años esté entre 170 cm y 180 cm. [1 punto]

b) ¿A partir de qué altura un niño de 17 años de dicha población se encontraría dentro del 5 % de niños de 17 años más altos de dicha población? [1,5 puntos]

Llamamos $X$ a la altura de un niño de 17 años de esa población, que según el enunciado sigue la ley

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(175;\,7{,}41)$

y tipificamos, que es lo que permite usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-175}{7{,}41}\sim N(0,1)$

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que en dicha población la altura de un niño de 17 años esté entre 170 cm y 180 cm. [1 punto]}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo.

$P(170<X<180)=P\left(\dfrac{170-175}{7{,}41}<Z<\dfrac{180-175}{7{,}41}\right)=P(-0{,}67<Z<0{,}67)$

Los dos extremos son opuestos, así que el intervalo está centrado en la media y podemos usar la simetría de la campana:

$P(-0{,}67<Z<0{,}67)=2\,\Phi(0{,}67)-1$

$=2\cdot0{,}7486-1=0{,}4972$



La probabilidad de que un niño de 17 años mida entre $170$ y $180\ \text{cm}$ es $0{,}4972$, es decir, un $49{,}72\%$.

$\textbf{b) ¿A partir de qué altura un niño de 17 años de dicha población se encontraría dentro del 5 \% de niños de 17 años más altos de dicha población? [1,5 puntos]}$

Ahora la incógnita es la altura. Llamamos $k$ al valor buscado; que por encima de él quede el $5\%$ más alto significa

$P(X>k)=0{,}05\Rightarrow P(X<k)=0{,}95$

Tipificamos y buscamos en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda esa área.

$P\left(Z<\dfrac{k-175}{7{,}41}\right)=0{,}95$

En la tabla, $\Phi(1{,}64)=0{,}9495$ y $\Phi(1{,}65)=0{,}9505$, de modo que el valor está justo en medio:

$\dfrac{k-175}{7{,}41}=1{,}645$

$k=175+1{,}645\cdot7{,}41=175+12{,}1895=187{,}1895$



A partir de $187{,}19\ \text{cm}$ un niño de 17 años se encuentra dentro del $5\%$ más alto de la población.