Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Considere el par de rectas $r : \begin{cases} 3x - 5 = y \\ z = 0 \end{cases}$ y $s : \begin{cases} 6x - 2y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$.

a) Calcule la posición relativa de las dos rectas. [1 punto]

b) Dé la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. [0,5 puntos]

c) Dé la ecuación de un plano ortogonal a la recta $r$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la posición relativa de las dos rectas. [1 punto]}$

Pasamos las dos rectas a paramétricas para leer un punto y un director de cada una. En ambas la tercera ecuación es $z=0$, así que basta despejar $y$ en función de $x$.

$r:\begin{cases}y=3x-5\\ z=0\end{cases}\Rightarrow r:\begin{cases}x=\lambda\\ y=-5+3\lambda\\ z=0\end{cases}\Rightarrow P_r(0,-5,0),\ \vec v_r=(1,3,0)$

$s:\begin{cases}6x-2y=1\\ z=0\end{cases}\Rightarrow y=3x-\dfrac12\Rightarrow s:\begin{cases}x=\lambda\\ y=-\dfrac12+3\lambda\\ z=0\end{cases}\Rightarrow P_s\left(0,-\dfrac12,0\right),\ \vec v_s=(1,3,0)$

Los dos directores son el mismo vector, luego las rectas son paralelas o coincidentes. Para distinguirlo comprobamos si un punto de $r$ satisface la ecuación de $s$.

$6\cdot0-2\cdot(-5)=10\neq1\Rightarrow P_r\notin s$

Las dos rectas son paralelas y distintas: tienen la misma dirección y ningún punto en común.



$\textbf{b) Dé la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. [0,5 puntos]}$

Dos rectas paralelas y distintas determinan siempre un plano. Aquí se lee de inmediato, porque las dos tienen todos sus puntos con tercera coordenada nula:

$\pi:z=0$

que es el plano $OXY$.

$\textbf{c) Dé la ecuación de un plano ortogonal a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

Un plano es ortogonal a una recta cuando el vector director de la recta es normal al plano, así que tomamos

$\vec n_\sigma=\vec v_r=(1,3,0)$

$\sigma:x+3y+0\cdot z+D=0\Rightarrow \sigma:x+3y+D=0$

Cualquier valor de $D$ da un plano válido, porque todos ellos son paralelos entre sí. Tomando $D=0$:

$\sigma:x+3y=0$

Es un plano ortogonal a $r$ y, por ser $\vec v_s=\vec v_r$, también lo es a $s$.