Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Considere la función $f(x) = \sin(x)$.

a) Calcule una primitiva de $f(x)$. [0,75 puntos]

b) Calcule el área del recinto del plano limitado por $f(x)$ y el eje OX de abscisas para $x \in [0, 2\pi]$. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule una primitiva de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

La integral del seno es inmediata.

$\int\operatorname{sen}x\,dx=-\cos x+C$

Una primitiva de $f$ es $F(x)=-\cos x$.

$\textbf{b) Calcule el área del recinto del plano limitado por } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y el eje OX de abscisas para } \boldsymbol{x \in [0, 2\pi]}\textbf{. [1,75 puntos]}$

Lo primero es estudiar el signo de la función, porque el seno cambia de signo dentro del intervalo y la integral definida restaría un trozo en lugar de sumarlo. Buscamos sus ceros:

$\operatorname{sen}x=0\Rightarrow x=0,\ x=\pi,\ x=2\pi$

$\operatorname{sen}x\ge0\ \text{en }[0,\pi],\qquad \operatorname{sen}x\le0\ \text{en }[\pi,2\pi]$



Hay, pues, dos recintos, y el área total es la suma de sus áreas, cambiando el signo del segundo.

$A_1=\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}x\,dx=\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi}=-\cos\pi+\cos0=1+1=2$

$A_2=-\int_{\pi}^{2\pi}\operatorname{sen}x\,dx=-\left[-\cos x\right]_{\pi}^{2\pi}=-\left(-1-1\right)=2$

$A=A_1+A_2=2+2=4$

El área del recinto es de $4$ unidades de área. Nótese que la integral entre $0$ y $2\pi$ vale $0$, porque los dos lóbulos se cancelan: si no se hubiera estudiado el signo, el resultado habría sido nulo.