Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

Cierto test determina si una persona consume cierto tipo de droga. En el 99 % de los casos, el test clasifica como usuario de la droga a aquellos que la han consumido y también en el 99 % de los casos, el test clasifica como no usuarios de la droga a aquellos que no la han consumido. Además, el 0,5 % de las personas a las que se les va a pasar el test consumen la droga.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las personas a las que se les va a pasar el test no consuman la droga? [1 punto]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona consuma la droga si ha dado positivo en el test? [1,5 puntos]

Llamamos $D$ al suceso «la persona consume la droga» y $+$ al suceso «el test da positivo». El enunciado da la prevalencia y los dos aciertos del test:

$P(D)=0{,}005,\qquad P(+|D)=0{,}99,\qquad P(-|\overline{D})=0{,}99$

de donde, pasando al contrario en la última, $P(+|\overline{D})=0{,}01$. El árbol del experimento es:



$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que las personas a las que se les va a pasar el test no consuman la droga? [1 punto]}$

Es la probabilidad del suceso contrario del que da el enunciado.

$P(\overline{D})=1-P(D)=1-0{,}005=0{,}995$

La probabilidad de que una persona a la que se le pasa el test no consuma la droga es $0{,}995$, es decir, un $99{,}5\%$.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona consuma la droga si ha dado positivo en el test? [1,5 puntos]}$

Se pide la probabilidad de la causa conocido el efecto, así que aplicamos el teorema de Bayes. Calculamos primero la probabilidad de dar positivo con el teorema de la probabilidad total, sumando las dos ramas que terminan en $+$.

$P(+)=P(D)P(+|D)+P(\overline{D})P(+|\overline{D})$

$=0{,}005\cdot0{,}99+0{,}995\cdot0{,}01=0{,}00495+0{,}00995=0{,}0149$

Ahora dividimos entre esa cantidad la rama que interesa:

$P(D|+)=\dfrac{P(D)P(+|D)}{P(+)}=\dfrac{0{,}00495}{0{,}0149}=\dfrac{99}{298}\approx0{,}3322$

La probabilidad de que una persona consuma la droga sabiendo que ha dado positivo es $\dfrac{99}{298}\approx0{,}3322$, es decir, un $33{,}22\%$. Pese a que el test acierta el $99\%$ de las veces, dos de cada tres positivos corresponden a personas que no consumen: los no consumidores son doscientas veces más numerosos, y su $1\%$ de falsos positivos pesa más que los aciertos.