Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Considere los planos $\pi_1 : 2x - 3y + 5z = a$ y $\pi_2 : bx + 3y - 5z = 4$ en función de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$. Determine si es posible asignar algún valor a los parámetros $a$ y $b$ para que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$:

a) Sean coincidentes. En caso afirmativo dé un valor para $a$ y $b$. [0,5 puntos]

b) Sean paralelos. En caso afirmativo dé un valor para $a$ y $b$. [1 punto]

c) Se corten en una recta. En caso afirmativo dé un valor para $a$ y $b$. [1 punto]

Las tres posiciones relativas de dos planos se deciden comparando los coeficientes de sus ecuaciones, así que escribimos los dos vectores normales y trabajamos con las proporciones.

$\vec n_1=(2,-3,5),\qquad \vec n_2=(b,3,-5)$



$\textbf{a) Sean coincidentes. En caso afirmativo dé un valor para } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Dos planos son coincidentes cuando las cuatro cantidades de sus ecuaciones son proporcionales, término independiente incluido.

$\dfrac{2}{b}=\dfrac{-3}{3}=\dfrac{5}{-5}=\dfrac{a}{4}$

Las dos razones centrales valen ambas $-1$, de modo que la constante de proporcionalidad está obligada a ser $-1$, y de ahí salen los dos parámetros:

$\dfrac{2}{b}=-1\Rightarrow b=-2,\qquad \dfrac{a}{4}=-1\Rightarrow a=-4$

Sí es posible: con $a=-4$ y $b=-2$ el segundo plano es $-2x+3y-5z=4$, que multiplicado por $-1$ da $2x-3y+5z=-4$, exactamente el primero.

$\textbf{b) Sean paralelos. En caso afirmativo dé un valor para } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{. [1 punto]}$

Para que sean paralelos y distintos, los coeficientes de las incógnitas deben ser proporcionales pero el término independiente no debe seguir la misma proporción.

$\dfrac{2}{b}=\dfrac{-3}{3}=\dfrac{5}{-5}\neq\dfrac{a}{4}\Rightarrow b=-2\ \text{ y }\ a\neq-4$

Sí es posible: por ejemplo, $a=0$ y $b=-2$. Entonces $\pi_1:2x-3y+5z=0$ y $\pi_2:-2x+3y-5z=4$, cuyos primeros miembros son opuestos y cuyos segundos no, así que ningún punto puede cumplir las dos ecuaciones.

$\textbf{c) Se corten en una recta. En caso afirmativo dé un valor para } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{. [1 punto]}$

Dos planos se cortan en una recta cuando sus normales no son proporcionales, es decir, cuando falla la única igualdad que puede fallar:

$\dfrac{2}{b}\neq-1\Rightarrow b\neq-2$

y en ese caso el valor de $a$ es indiferente.

Sí es posible: por ejemplo, $a=0$ y $b=0$, con lo que $\pi_1:2x-3y+5z=0$ y $\pi_2:3y-5z=4$ se cortan en una recta.