Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Considere la función $f(x) = x^3 + 1$.

a) Calcule una primitiva de $f(x)$. [0,5 puntos]

b) Calcule los puntos de inflexión de $f(x)$ si los hubiera. [1 punto]

c) Calcule el área del recinto limitado por $f(x)$, el eje OX de abscisas y las rectas $x = 1$ y $x = 2$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule una primitiva de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La integral es inmediata, término a término.

$\int(x^3+1)\,dx=\dfrac{x^4}{4}+x+C$

Una primitiva de $f$ es $F(x)=\dfrac{x^4}{4}+x$.

$\textbf{b) Calcule los puntos de inflexión de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ si los hubiera. [1 punto]}$

Los puntos de inflexión son aquellos en los que la derivada segunda se anula y cambia de signo, así que derivamos dos veces.

$f'(x)=3x^2,\qquad f''(x)=6x$

$f''(x)=0\Rightarrow 6x=0\Rightarrow x=0$

$f''$ es una recta de pendiente positiva: es negativa a la izquierda de $0$ y positiva a la derecha, luego la curva pasa de cóncava a convexa y hay inflexión. La ordenada es

$f(0)=0^3+1=1$

La función tiene un único punto de inflexión, el $(0,1)$.

$\textbf{c) Calcule el área del recinto limitado por } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, el eje OX de abscisas y las rectas } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 2}\textbf{. [1 punto]}$

Comprobamos primero el signo de la función en el intervalo: si $1\le x\le2$ entonces $x^3+1\ge2>0$, de modo que todo el recinto queda por encima del eje y el área es directamente la integral definida.

$A=\int_{1}^{2}(x^3+1)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}+x\right]_{1}^{2}$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=\left(\dfrac{16}{4}+2\right)-\left(\dfrac14+1\right)=6-\dfrac54=\dfrac{19}{4}$

El área del recinto es $\dfrac{19}{4}=4{,}75$ unidades de área.