Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Calcule las ecuaciones de las rectas de los lados de un triángulo que tiene como vértices a los puntos $A = (0, 0, 1)$, $B = (4, 1, 2)$ y $C = (3, 4, 3)$. [2,5 puntos]

$\textbf{Calcule las ecuaciones de las rectas de los lados de un triángulo que tiene como vértices a los puntos } \boldsymbol{A = (0, 0, 1)}\textbf{, } \boldsymbol{B = (4, 1, 2)}\textbf{ y } \boldsymbol{C = (3, 4, 3)}\textbf{. [2,5 puntos]}$

Cada lado del triángulo está sobre la recta que pasa por dos de los vértices, de modo que basta tomar uno de ellos como punto y el vector que los une como director. Calculamos los tres vectores.

$\overrightarrow{AB}=(4,1,2)-(0,0,1)=(4,1,1)$

$\overrightarrow{AC}=(3,4,3)-(0,0,1)=(3,4,2)$

$\overrightarrow{BC}=(3,4,3)-(4,1,2)=(-1,3,1)$

Ninguno de los tres es proporcional a otro, así que los tres vértices no están alineados y el triángulo existe.



Lado $AB$, con punto $A(0,0,1)$ y director $\overrightarrow{AB}=(4,1,1)$:

$r_{AB}:\begin{cases}x=4\lambda\\ y=\lambda\\ z=1+\lambda\end{cases}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$

Lado $AC$, con punto $A(0,0,1)$ y director $\overrightarrow{AC}=(3,4,2)$:

$r_{AC}:\begin{cases}x=3\lambda\\ y=4\lambda\\ z=1+2\lambda\end{cases}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z-1}{2}$

Lado $BC$, con punto $B(4,1,2)$ y director $\overrightarrow{BC}=(-1,3,1)$:

$r_{BC}:\begin{cases}x=4-\lambda\\ y=1+3\lambda\\ z=2+\lambda\end{cases}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \dfrac{x-4}{-1}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z-2}{1}$

En las tres, $\lambda\in\mathbb{R}$. Comprobamos, por ejemplo, que $C$ está en $r_{BC}$ haciendo $\lambda=1$:

$(4-1,\,1+3,\,2+1)=(3,4,3)=C$