Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

Las alturas de hombres de 17 años siguen una distribución normal de media 175 centímetros y desviación estándar 7,41 centímetros. Sea $A$ el suceso formado por los hombres de 17 años que miden más de 170 centímetros y $B$ el suceso de las personas de 17 años que realizan la EBAU en una región determinada. Tenemos que $P(B^c) = 0{,}35$, donde $B^c$ denota el suceso contrario de $B$.

a) Calcule $P(A)$. [1 punto]

b) Calcule $P(B)$. [0,5 puntos]

c) Calcule $P(A \cap B^c)$. [0,5 puntos]

d) Calcule $P(A \cup B)$. [0,5 puntos]

Llamamos $X$ a la altura de un hombre de 17 años, que según el enunciado se distribuye

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(175;\,7{,}41)$

Los apartados c) y d) combinan un suceso de altura con otro de matrícula, y para poder operar con ellos suponemos que $A$ y $B$ son independientes.

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{P(A)}\textbf{. [1 punto]}$

El suceso $A$ es «medir más de $170\ \text{cm}$», así que tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal.

$Z=\dfrac{X-175}{7{,}41}\sim N(0,1)$

$P(A)=P(X>170)=P\left(Z>\dfrac{170-175}{7{,}41}\right)=P(Z>-0{,}67)$

Las tablas solo recogen valores positivos, así que llevamos el suceso al semieje positivo por la simetría de la campana:

$P(Z>-0{,}67)=P(Z<0{,}67)=\Phi(0{,}67)=0{,}7486$



$P(A)=0{,}7486$

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{P(B)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Basta pasar al suceso contrario del que da el enunciado.

$P(B)=1-P(B^{c})=1-0{,}35=0{,}65$

$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{P(A \cap B^{c})}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $A$ y $B^{c}$, de modo que la probabilidad de la intersección es el producto.

$P(A\cap B^{c})=P(A)\cdot P(B^{c})=0{,}7486\cdot0{,}35=0{,}26201$

$\textbf{d) Calcule } \boldsymbol{P(A \cup B)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Los dos sucesos no son incompatibles, así que en la unión hay que descontar la intersección, que de nuevo es el producto por la independencia.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)$

$=0{,}7486+0{,}65-0{,}7486\cdot0{,}65=1{,}3986-0{,}48659=0{,}91201$

La probabilidad de que un hombre de 17 años mida más de $170\ \text{cm}$ o realice la EBAU en esa región es $0{,}91201$.