Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Considere la función $f(x) = ax + \operatorname{sen}(x)$, en función de la constante real $a$, con $x \in [0, 2\pi]$.

a) Determine la constante para que la función valga 0 cuando $x = \pi/2$. [0,5 puntos]

b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ para el valor de $a$ calculado. [1 punto]

c) Calcule una primitiva de $f(x)$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine la constante para que la función valga 0 cuando } \boldsymbol{x = \pi/2}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Basta imponer la condición en la expresión de la función y despejar el parámetro.

$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=a\cdot\dfrac{\pi}{2}+\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{a\pi}{2}+1=0$

$\dfrac{a\pi}{2}=-1\Rightarrow a=-\dfrac{2}{\pi}\approx-0{,}6366$

La constante pedida es $a=-\dfrac{2}{\pi}$.

$\textbf{b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ para el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ calculado. [1 punto]}$

Con ese valor la función es $f(x)=-\dfrac{2x}{\pi}+\operatorname{sen}x$ en $[0,2\pi]$. La monotonía la da el signo de la derivada primera, así que la calculamos y buscamos sus ceros.

$f'(x)=-\dfrac{2}{\pi}+\cos x$

$f'(x)=0\Rightarrow\cos x=\dfrac{2}{\pi}\approx0{,}6366$

En el intervalo $[0,2\pi]$ el coseno toma ese valor dos veces, una en cada mitad, y la segunda es simétrica de la primera respecto de $2\pi$:

$x_1=\arccos\dfrac{2}{\pi}\approx0{,}8807,\qquad x_2=2\pi-x_1\approx5{,}4025$

Estudiamos el signo de $f'$ en los tres tramos que determinan.

$f'(0{,}3)=\cos(0{,}3)-0{,}6366\approx0{,}3187>0$

$f'(2)=\cos(2)-0{,}6366\approx-1{,}0528<0$

$f'(6)=\cos(6)-0{,}6366\approx0{,}3236>0$



La función crece en $[0;\,0{,}8807)\cup(5{,}4025;\,2\pi]$ y decrece en $(0{,}8807;\,5{,}4025)$; en $x_1$ hay un máximo relativo y en $x_2$ un mínimo relativo.

$\textbf{c) Calcule una primitiva de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

La integral es inmediata: se descompone en la de un polinomio y la de un seno.

$\int\left(-\dfrac{2x}{\pi}+\operatorname{sen}x\right)dx=-\dfrac{2}{\pi}\int x\,dx+\int\operatorname{sen}x\,dx$

$=-\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{x^2}{2}-\cos x+C=-\dfrac{x^2}{\pi}-\cos x+C$

Una primitiva de $f$ es $F(x)=-\dfrac{x^2}{\pi}-\cos x$.