Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones $\begin{cases} x - 3y + 2z = -1 \\ -2x + 4z = -6 \\ x - 2y + \lambda z = 0 \end{cases}$ en función del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$.

a) Razone si el sistema puede ser incompatible. En caso afirmativo, determine cuándo lo es. [0,75 puntos]

b) Razone si el sistema puede ser compatible determinado. En caso afirmativo, determine cuándo lo es. [0,75 puntos]

c) Razone si el sistema puede ser compatible indeterminado. En caso afirmativo, determine cuándo lo es. [0,75 puntos]

d) Razone si el sistema tiene solución única para $\lambda = 1$. En caso afirmativo, calcule dicha solución. [0,25 puntos]

Los cuatro apartados se responden con la misma discusión, así que empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes y comparando después los rangos según el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\begin{pmatrix}1&-3&2\\ -2&0&4\\ 1&-2&\lambda\end{pmatrix},\qquad M^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&-1\\ -2&0&4&-6\\ 1&-2&\lambda&0\end{array}\right)$

Desarrollando el determinante por la primera fila:

$|M|=1\begin{vmatrix}0&4\\ -2&\lambda\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}-2&4\\ 1&\lambda\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}-2&0\\ 1&-2\end{vmatrix}=8+3(-2\lambda-4)+2\cdot4$

$|M|=8-6\lambda-12+8=4-6\lambda$

$4-6\lambda=0\Rightarrow\lambda=\dfrac23$

$\textbf{a) Razone si el sistema puede ser incompatible. En caso afirmativo, determine cuándo lo es. [0,75 puntos]}$

El único candidato es $\lambda=\frac23$, porque en los demás casos el determinante no se anula. Estudiamos los rangos para ese valor.

$\begin{vmatrix}1&-3\\ -2&0\end{vmatrix}=0-6=-6\neq0\ \text{ y }\ |M|=0\Rightarrow \operatorname{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1&-3&-1\\ -2&0&-6\\ 1&-2&0\end{vmatrix}=0+18-4-0-12-0=2\neq0\Rightarrow \operatorname{ran}(M^*)=3$

Sí puede serlo: como $\operatorname{ran}(M)=2\neq3=\operatorname{ran}(M^*)$, el sistema es incompatible exactamente para $\lambda=\dfrac23$.

$\textbf{b) Razone si el sistema puede ser compatible determinado. En caso afirmativo, determine cuándo lo es. [0,75 puntos]}$

Si $\lambda\neq\frac23$ entonces $|M|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^*)=3=\text{n.º de incógnitas}$

Sí puede serlo: el sistema es compatible determinado para todo $\lambda\neq\dfrac23$.

$\textbf{c) Razone si el sistema puede ser compatible indeterminado. En caso afirmativo, determine cuándo lo es. [0,75 puntos]}$

Los dos apartados anteriores agotan los valores del parámetro: para $\lambda\neq\frac23$ el sistema es compatible determinado y para $\lambda=\frac23$ es incompatible.

No puede serlo: no existe ningún valor de $\lambda$ para el que el sistema sea compatible indeterminado.

$\textbf{d) Razone si el sistema tiene solución única para } \boldsymbol{\lambda = 1}\textbf{. En caso afirmativo, calcule dicha solución. [0,25 puntos]}$

Como $1\neq\frac23$, estamos en el caso del apartado b) y el sistema tiene solución única. Lo resolvemos por la regla de Cramer con $|M|=4-6=-2$.

$x=\dfrac{\begin{vmatrix}-1&-3&2\\ -6&0&4\\ 0&-2&1\end{vmatrix}}{-2}=\dfrac{-2}{-2}=1$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-1&2\\ -2&-6&4\\ 1&0&1\end{vmatrix}}{-2}=\dfrac{0}{-2}=0$

$z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-3&-1\\ -2&0&-6\\ 1&-2&0\end{vmatrix}}{-2}=\dfrac{2}{-2}=-1$

Sí tiene solución única, y es $(x,y,z)=(1,0,-1)$.