Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Sean $A = (0, 0, 0)$, $B = (0, 0, 1)$, $C = (a, 4, 1)$ y $D = (a, 4, 0)$ los vértices consecutivos de un rectángulo en función de una constante $a \geq 0$.

a) Calcule la constante de forma que el área del rectángulo sea $5 \text{ u}^2$. [1,25 puntos]

b) Calcule las ecuaciones paramétricas de las rectas de los lados del rectángulo para $a = 3$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule la constante de forma que el área del rectángulo sea } \boldsymbol{5 \text{ u}^2}\textbf{. [1,25 puntos]}$

En un rectángulo dos lados contiguos son perpendiculares, de modo que su área es simplemente el producto de las longitudes de esos dos lados. Tomamos los que salen de $B$ y comprobamos de paso que la figura es de verdad un rectángulo.

$\overrightarrow{AB}=(0,0,1),\qquad \overrightarrow{BC}=(a,4,0)$

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0\cdot a+0\cdot4+1\cdot0=0\Rightarrow \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}$

$|\overrightarrow{AB}|=1,\qquad |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{a^2+16}$

Imponemos que el área valga $5\ \text{u}^2$:

$S=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{a^2+16}=5$

$a^2+16=25\Rightarrow a^2=9\Rightarrow a=\pm3$

Se descarta $a=-3$ porque el enunciado exige $a\ge0$.

La constante buscada es $a=3$.



$\textbf{b) Calcule las ecuaciones paramétricas de las rectas de los lados del rectángulo para } \boldsymbol{a = 3}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Con $a=3$ los vértices son $A(0,0,0)$, $B(0,0,1)$, $C(3,4,1)$ y $D(3,4,0)$. Cada lado queda determinado por uno de sus extremos y por el vector que va de ese extremo al otro.

Lado $AB$, con $A(0,0,0)$ y $\overrightarrow{AB}=(0,0,1)$:

$r_{AB}:\begin{cases}x=0\\ y=0\\ z=\lambda\end{cases}$

Lado $BC$, con $B(0,0,1)$ y $\overrightarrow{BC}=(3,4,0)$:

$r_{BC}:\begin{cases}x=3\lambda\\ y=4\lambda\\ z=1\end{cases}$

Lado $CD$, con $C(3,4,1)$ y $\overrightarrow{CD}=(0,0,-1)$:

$r_{CD}:\begin{cases}x=3\\ y=4\\ z=1-\lambda\end{cases}$

Lado $DA$, con $D(3,4,0)$ y $\overrightarrow{DA}=(-3,-4,0)$:

$r_{DA}:\begin{cases}x=3-3\lambda\\ y=4-4\lambda\\ z=0\end{cases}$

En las cuatro, $\lambda\in\mathbb{R}$. Como cabía esperar, los lados opuestos tienen directores proporcionales: $r_{AB}$ es paralela a $r_{CD}$ y $r_{BC}$ lo es a $r_{DA}$.