Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Considere la función $f(x) = \begin{cases} x^3 - 10x^2 + 25x, & \text{si } x \leq 5 \\[1ex] \ln(x^2 - 25), & \text{si } x > 5 \end{cases}$

a) Determine si $f(x)$ tiene asíntota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s). [1,25 puntos]

b) Determine si $f(x)$ tiene punto(s) de inflexión. En caso afirmativo, calcúlelo(s). [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine si } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tiene asíntota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s). [1,25 puntos]}$

Estudiamos cada rama por su lado. La primera es un polinomio, que no tiene asíntotas de ninguna clase: está definido en todo $\mathbb{R}$ y tiende a infinito más deprisa que cualquier recta. Nos queda comprobar la rama logarítmica.

Asíntotas verticales. El logaritmo se va a $-\infty$ cuando su argumento tiende a cero, y $x^2-25$ se anula justo en el extremo del tramo.

$\lim_{x\to5^{+}}\ln(x^2-25)=\ln(0^{+})=-\infty\Rightarrow x=5\ \text{es asíntota vertical}$

Asíntotas horizontales y oblicuas por la derecha:

$\lim_{x\to+\infty}\ln(x^2-25)=+\infty\Rightarrow\text{no hay asíntota horizontal}$

$m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x^2-25)}{x}=0$

porque $x$ es un infinito de orden superior al del logaritmo. Al ser $m=0$ tampoco hay asíntota oblicua.

La única asíntota de $f$ es la vertical $x=5$, a la que la función se acerca por la derecha.

$\textbf{b) Determine si } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tiene punto(s) de inflexión. En caso afirmativo, calcúlelo(s). [1,25 puntos]}$

Los puntos de inflexión son aquellos en los que la derivada segunda se anula y además cambia de signo, así que derivamos dos veces cada rama.

Para $x<5$:

$f'(x)=3x^2-20x+25,\qquad f''(x)=6x-20$

$6x-20=0\Rightarrow x=\dfrac{10}{3}\approx3{,}33$

El valor pertenece al tramo, y $f''$ es una recta de pendiente positiva, luego pasa de negativa a positiva: la curva pasa de cóncava a convexa y hay inflexión. Su ordenada es

$f\left(\dfrac{10}{3}\right)=\dfrac{10}{3}\left(\dfrac{10}{3}-5\right)^2=\dfrac{10}{3}\cdot\dfrac{25}{9}=\dfrac{250}{27}\approx9{,}26$

Para $x>5$:

$f'(x)=\dfrac{2x}{x^2-25},\qquad f''(x)=\dfrac{2(x^2-25)-2x\cdot2x}{(x^2-25)^2}=\dfrac{-2x^2-50}{(x^2-25)^2}$

El numerador es negativo para cualquier $x$ y el denominador es un cuadrado, así que $f''<0$ en todo el tramo: la rama logarítmica es cóncava y no tiene inflexión.

En $x=5$ tampoco puede haberla, porque ahí la función ni siquiera es continua: $f(5)=0$ y el límite por la derecha es $-\infty$.

El único punto de inflexión es $\left(\dfrac{10}{3},\dfrac{250}{27}\right)\approx(3{,}33;\,9{,}26)$.